Здравствуйте. Не знаю, насколько уместен ли мой пост в рамках ДАННОЙ темы, но всё же... Я недавно заинтересовался квадратичными алгебрами (точнее, конечно же, фактор-алгебрами) с определяющими
соотношениями A_{ij}x_ix_j=0 (i,j=1,...n) для n некоммутативных элементов (A_{ij} - обычные комплексные числа)

1. Что можно сказать о ряде Гильберта в случае произвольной матрицы ||A_{ij}|| ?

2. Частный случай: Пусть квадратичные соотношения имеют вид R (x ⊗ I)(I ⊗ x)=(I ⊗ x)(x ⊗ I), где R - n^2\times n^2 - числовая R-матрица Янга-Бакстера (конкретный вид меня не интересует; известно лишь то, что R удовлетворяет уравнению Янга-Бакстера) а I и x - соответствующие столбцы (I - столбец, состоящий из единиц). Что в этом частном случае можно сказать о ряде Гильберта?

3. Существует ли необходимое и достаточное условие (хотя бы во втором случае - для R-матрицы) такое, что ряд Гильберта имеет вид H(z)=1/(1-z)^4 (т.е. совпадает с соответствующим рядом для коммутативного случая)?


Сергей

1. Матрица, видимо, трехиндексная (т.е., не одно квадратичное соотношение, а система из произвольного числа квадратичных соотношений)? Тогда в общем случае сказать нельзя почти ничего. Разве что неравенство Голода-Шафаревича есть, конечно (оценка снизу на размерности компонент алгебры через число образующих и соотношений).

2-3. Вообще говоря, сказать нельзя, конечно, ничего. Но, мне кажется, если матрица R близка к единичной и R^2 = 1, ряд Гильберта будет 1/(1-z)^4. Это должно обобщаться на случай, когда матрица R удовлетворяет квадратному уравнению (R-1)(R-q) = 0, только, наверное, нужно предполагать, что q не корень из 1 (чтобы такая алгебра Гекке была полупроста). Но я уже плохо помню эту историю про R-матрицы.

Спасибо за ответ. Приношу свои извинения за "анонимность" - ЖЖ у меня нет.

Сергей

Если это обычные R-матричные алгебры, то известно (благодаря А.Давыдову), что их ряд Гильберта рационален, см.
Davydov, A. A.
Totally positive sequences and R-matrix quadratic algebras. (English summary)
Algebra, 12.
J. Math. Sci. (New York) 100 (2000), no. 1, 1871–1876.