Глава 33. Мы с Андрюшей учимся находить конечную сумму
- Ну, как, Андрюшенька, съездил в Анапу? Понравилось там? Море видел?
- Видел, дедуля! Море - оно огромное! Как наш земной шар!
- Да уж! Давай сюда глобус, я покажу тебе твоё огромное море. Таак. Вот оно, самое синие в мире Черное море.
- Это такое маленькое?
- Андрюша! Большое или маленькое - понятия относительные. Для твоих котов, например, наполненная ванна покажется роскошным бассейном. Для тебя же она так себе, чуть побольше тазика.
- Но почему же на пляже в Анапе, когда я смотрю на море, совсем не вижу берега? Вообще нет берега!
- Так земля наша круглая и ты видишь край водного шара. А берег - он там, ниже водного горизонта.
- Ладно, дедуля, что мы с тобой рассмотрим сегодня? Ты обещал показать задачку по рядам.
- Да, конечно! Тут на форуме только вчера попросили вычислить сумму ряда. Сейчас найду тему... Вот, читай что пишет студент под ником zds :



- Деда! А кто-нибудь помог ему?
- Да, конечно. Один товарищ предложил план поиска, другой очень много всего написал, всяких сумм умопомрачительных, и получил в результате число 26 . Но очень уж сложно!
- Но ведь решил задачу! Какая разница, как находить верный ответ? Ты же сам мне так не раз говорил.
- Понимаешь в чем дело, внучек, слишком уж красивая задача эта и хочется решить ее в общем виде.
- Какой же тогда ее общий вид?
- Я думаю, такой:



где показатель степени n - целое положительное число, а параметр |a|>1 .
- Почему это больше единицы?
- Посуди сам: если число a будет по модулю меньше единицы, то при бесконечном k знаменатель станет нулевым. А это, сам понимаешь, никуда не годится. Если не веришь, проверь в Вольфраме или в Maple.
- Верю, верю, дедуля! Ты прав. Как же мы будем находить сумму? Я никогда таких задач не решал.
- Давай, Андрюшенька, так сделаем: будем менять k , скажем, от единицы до шести. Сумму определим в Вольфраме, наберем статистику. Тогда и увидим - выйдет ли что-нибудь путное или нет?
- Можно я это сделаю? У меня обязательно выйдет!
- Если уж так хочется, то начинай. А я попробую найти похожую сумму в справочнике Прудникова...
- Деда! Посмотри, какие суммы я получил:



-Ух, ты! Есть четкая закономерность, однако! Со знаменателем все ясно. А вот для числителя нужно выяснить, что за последовательность коэффициентов? На биноминальные коэффициенты похоже весьма отдаленно. Вот что мы сделаем: в Яндексе наберем энциклопедия числовых последовательностей . Так... Выбираем ссылку на Википедию. Далее идем по ссылке Сайт энциклопедии числовых последовательностей . Вошли... Теперь в окошке через запятую пишем: 1, 57, 302 и смотрим.
- Деда! Тут последовательность A008292 , называется по-английски Triangle of Eulerian numbers T(n,k) (n>=1, 1<=k<=n ) read by rows . Что это такое?
- О! это числа Эйлера I рода. В Википедии они должны быть... В самом деле! Есть таблица:



Вот так, Андрюшенька. Теперь ты легко можешь записать сумму ряда для k , скажем, семь. Попробуешь?
- Еще как попробую! Вот проверяй:



- Блестяще! А теперь вернись к началу и напиши предельно ясное решение задачи.
- Да короче нас с тобой никто бы не решил! Вот оно, самое ясное:



- Прекрасно! Теперь мы смело можем задать задачу в этом форуме. Допустим для a=2.6 и k=8 . Ух как будут мучиться наши коллеги, представляешь?
- Деда! Да не будет никто мучиться. Они прочтут нашу статью и быстренько ответ состряпают!
- Значит, полезную работенку мы с тобой сделали!


г. Москва
16 июля 2013 г.