Глава 37. Суммы одинаковых степеней натуральных чисел
.
.
- О чем думаешь, Андрюша?
- Думаю о натуральном ряде чисел. Пусть в нем m членов. Чему будет равна сумма?
- Эта задача простая для старшеклассников. Они проходят, чему равна сумма арифметической прогрессии. Насколько я помню, чтобы найти m членов арифметической прогрессии взять полусумму первого и последнего члена и умножить ее на m .
- Итак, дедуля, в натуральном ряде первый член всегда единица, последний член равен m , их складываем, делим пополам и умножаем опять на m . Получим формулу:



- Да, дорогой. Это верно. Не надо мучиться и складывать, скажем сто членов натурального ряда, а просто взять и вычислить сумму по твоей формуле.
- Как интересно! Да я могу и в уме. Один плюс сто - это сто один и у множим лучше на сто пополам. Итого будет сто один умножить на пятьдесят. Верно?
- Абсолютно верно. Но мне пришла в голову мысль решить более общую задачу. Как ты на это смотришь?
- Это, дедуля, смотря какую задачу.
- Вот смотри, я тебе ее напишу на твоей доске. Где синий фломастер?
- Он в ящике, сейчас найду. На, бери на здоровьице.
- Спасибо, внучек. Итак пишу:



Здесь степень k будем принимать целым и положительным числом.
- А как тут формулу написать?
- Тут, как я помню, общую формулу и не напишешь. Вот для каждого частного случая вывести формулу можно. Какое значение степени ты хочешь рассмотреть?
- Давай так: я беру справочник раскрываю его случайным образом, читаю самое первое слово на левой странице и какая по счету окажется буква a , таким и примем k . Интересно я придумал?
- Забавно! Ну, поехали!
- Ээээ, страница 642, первое слово "Значит". Ура! Примем k=3 .
- Воля Ваша. Итак, рассмотрим сумму кубов. Как же нам подступить? Это не геометрическая прогрессия. И ежу ясно. Придется самим попотеть. Вот я думаю, как. Посмотри на нашу формулу. Сумма членов натурального ряда дает нам полином второго порядка. Так?
- Да, дедуля. Если раскрыть скобки то будем иметь эм в квадрате.
- Ну, вот. А ведь показатель степени единица. Верно?
- Конечно! Любой член натурального ряда в степени единица ничего не меняет.
- Итак, порядок полинома на единицу больше степени k . То есть, по идее мы должны получить полином четвертой степени, поскольку k=3 . Ну, что ж, попробуем аппроксимировать полиномом четвертой степени. Сейчас я в Maple это и сделаю. Сначала найду сами частные суммы. Вот так:



- Деда, а почему ты пять сумм вывел?
- Как почему? В полиноме четвертой степени всегда в общем случае пять коэффициентов. Ведь говорят: квадратный трехчлен.
- Ах, да! Я и не догадался, почему так говорят.
- Это мы выяснили. Теперь составляем прогу по составлению расчету системы пяти линейных уравнений с пятью неизвестными:



- Ой, дедуля, надо понять. Тут ясно: ты подставил различные m и получил пять линейных выражений без правой части. Потом решаешь систему, привлекая найденные частные суммы один, девять, тридцать шесть, сто и двести двадцать пять. Получили три ненулевых коэффициента. Значит, полином четвертой степени, но неполный. Вот такой тогда имеем результат:



- Верно, Андрюшенька! Такой симпатичный результат. Значит, наш подход реален. Нужно только проверить. Загоняй формулу и проверь при всех пяти значениях k .
- Один моменто, дедуля! Так-так. Все верно! Все пять совпали! Только уж больно много приходится вычислять. Нужно и систему составить, и решить ее. Хотя можно все автоматизировать при помощи программы. Да, есть итересное наблюдение.
- Какое наблюдение?
- Понимаешь, дедуль. Некоторые коэффициенты нулевые. Если понять закономерность этих нулевых коэффициентов в зависимости от степени k , то слагаемых в строках системы будет меньше. Не так?
- Так, Андрюша. Но все равно будет много слагаемых и много строк. Решать систему тоже придется. А вручную это очень утомительно. Вот что я вспомнил. Сейчас... В голове вертится. А! У меня есть ссылка на журнал "Квант", там изложен рекуррентный способ получения P_k . Сейчас поищу в папке "Документы". Ага! Вот она.
- Что там говорится, дедуль?
- Там удивительно гениальная вещь. Примем P₀=m . Далее делаем такие ходы:



где вместо P^* пишем P в каждом члене которого применяем такие замены:



- Ничего не понял! Деда! Давай конкретно к нашей задаче примени эту гениальную вещь.
- Хорошо. Я буду все время писать, а ты смотри и пытайся сам уловить алгоритм. Итак, поехали:



- О! Я только под самый конец уловил идею замен! Как интересно! И с нашим примером все совпало полностью.
- Раз понял, то тебе задание. Продолжи докуда терпения хватит и, главное: рассортируй результаты по нечетным и четным k . Так надо.
- Тебе видней. А ты печку хочешь затопить?
- Да, надо бы. Но сначала придется дров напилить.
- А почему не наколоть?
- Да у меня скопились поддоны, на которых блоки привозили. Твой дядя Ваня разрешил их использовать для обогрева помещений и тебя, мой дорогой внучек.
- Хорошо! Беги, но только не порежь пальцы.
- Нашел кого учить! Ну, ты и шустрик!...

- Итак, Андрюша, чувствуешь тепло от печи "Булерьян"?
- Чувствую, чувствую. Вот, последнюю строку как раз выполнил. Гляди на две золотые странички:





- Ай да молодец! И даже вывел за скобки общие множители! Ты, конечно, понял, почему я просил тебя четные и нечетные?
- Дедуля! Ну, что за вопрос?
- Ладно, ладно! Ты молодец, умница и заработал холодец! Пошли мыть руки и ужинать.