| Топологические Векторные Пространства |
Sep. 1st, 2022|08:51 pm |
Напоминаем, вам что мы тут читаем не только всякое говно тупое, но и хорошие книжки по математике. Вот например книга по абстрактному функциональному анализу L. Narici and E. Beckenstein: Topological Vector Space. Под абстрактностью я понимаю то, что тут в центре внимания не Банаховы и Гильбертовы пространства, хотя их знание и предполагается. Вместо этого концепты развиваются снизу вверх, начиная с топологических групп, к которым добавляется еще одна непрерывная операция умножение на скаляр.
Обычно такой подход подразумевает определенную сухость изложения. Но только не в этой книге! Вот например фрагмент введения (перевод мой)
Посреди жестокого истребления многих своих близких друзей, включая своего научного руководителя, Банах пережил войну, но еле-еле. Университет был закрыт, как и все университеты в Польше вовремя нацистской оккупации. Официально перешедший в статус "Недочеловека", он проводил голодные годы, кормя вшей своей кровью в виварии бактериологического института, при это живя в постоянном ужасе, включая и срок в тюрьме. Лишения взяли свое и Банах умер в августе 1945 года. (И да тут есть такие исторические отступления. Что-то похожее я встречал в книге Паши Этингофа по теории представлений.) Потом, меньше чем через пол странички настроение меняется:Мы посвящаем этот вам, наши товарищи-математики, и немного больше многим, очень многим хорошим друзьям, которых мы нашли на конференциях за эти годы! Мы поднимает наши бокалы (не H2O [наверное, нацеженная из вшей кровь Банаха]) за вас. А использование свертки с дельта-функцией для обозначения функционала вычисления в точке и вовсе называется тут возмутительным.
Кстати, отдельной главы или раздела про обобщенные функции тут нет! И если изучать сейчас обобщенные функции, то я бы сделал бы упор не конкретно на изучение пространства Шварца, а на изучение ядерных пространств вообще. Потому что разных видов обобщенных функций сейчас на придумывали, кажется очень много, не только пространства этого Шварца, который Лоран. А ядерные пространства придумал, кстати, сам Александр Гротендик, когда учился в аспирантуре. Он, кстати, решив еще несколько задачек, считал что полностью закрыл этот предмет и называл этот предмет пустыней. Но вот некоторые люди заходили потом еще в эту пустыню и бродили там 40 лет как Евреи у Моисея. И вот такими "евреями" и являются авторы этой книги и они могут сводить вас на экскурсию в эту пустыню Гротендика. Но только в определенную ее часть. Куда тут пойти нельзя кроме обобщенных функций и ядерных пространств? Не увидите вы богатств современной операторной теории и операторных алгебр. Дифференцирование и интегрирование векторнозначных функций тоже останется сокрыто от пылких глаз туриста. Это пожалуйста к Богачеву.
Что же тут все таки есть? После подготовительного материала по топологическим группам идет классическая теория локально-выпуклых пространств. Я так понял, что тут собака как и в выпуклом анализе в том, что существует естественное соответствие между определёнными функциями и геометрическими объектами. Вообще эту аналогию можно расширить шире, например в дифференциальной геометрии гладкие функции задают гладкие поверхности, в алгебраической геометрии многочлены задаю алгебраические кривые. А тут сублинейные функционалы задают базу окрестностей из "тел Минковского" и соответственно задают векторную топологию для векторного пространства. А дальше почти все факты выводятся из универсального свойства для топологии, заданной семейством функций. Вообще, почти все элементарные факты функционального анализа выводятся из этого свойства, кроме может быть билинейных манипуляций с гильбертовыми пространствами. Мне это стало понятно после моего опыта с топологическими группам. А раньше я это не понимал. Например, отсюда сразу очевидно почему в Банаховых пространствах непрерывный оператор равно ограниченный (тут сублинейные функционалы это норма).
Потом идет крайне подробное обсуждения теоремы Хана-Банаха. Это вполне оправдано, так это один из немногих результатов, который имеет широкое применение. Есть там и другие результаты вроде теоремы Крайна-Милманна, теоремы Шоки, теоремы Банаха-Стоуна и других, которые очень уважаемы и любимы в самом функциональном анализе, но за его пределами вроде не особо применяются. Я предпочёл бы думать о них не как о чем-то бесполезном, а как о такой бесконечно-мерной геометрии красивой самой по себе. Очень мне еще понравилось утверждение, что множество замкнутых выпуклых множеств одинаково в любой топологии, задаваемой спариванием. Раньше я подозревал о чем-то таком, так как кажется, что все конструктивные результаты выпуклой геометрии вообще не должны завесить от векторной топологии даже там, где в формулировки упоминается топологические понятия (выпуклость понятие не топологическое). Еще тут есть отдельная глав про векторно-значную теорему Хана-Банаха, то есть про ограниченное продолжение целых линейных операторов! Кажется это довольно продвинутый материал. Других Мест, где про это было бы написано так доступно я не знаю.
Кстати, тут утверждают еще, что теорему доказал не Банах, а Хелли, и ее нужно называть не теорией Хелли-Ханна-Баннаха. Оказывается у Хелли была интересная биография. Как положено, теорему эту он доказал в плену у русских. А потом еще успел повоевать в гражданской войне за бело-чехов. Но воевать ему не очень нравилось, поэтому в конце-концов он вернулся домой в Австрию через Японию. А его ученик, Тибор Радо с которым, они в лагере занимались математикой, вернулся к себе в Венгрию через северный полюс! Такая невероятная география! Но потом Хелли пришлось спасаться в Америку при Гитлере. Там ему пршлось работать таксистом, репетитором, потому что рынок труда для математиков был настолько переполнен. Его сын тоже выучился на математика и стал преподавать исследование операций в NYU. Один из авторов книги пересекался с ним, когда был там студентом. Говорят, что когда Хелли младшего спрашивали про его профессию, он отвечал, что он не математик, а его папа, вот настоящий математик.
Еще тут есть про бочечные пространства. Но я эту часть книги не читал. Но в этом нет ничего страшного, так как сами авторы советуют читать книгу кусками, выбирая интересные места, ведь она кажется им очень длинной. Потом идут пространства биореологические. Вообще, борнология это как топология, но множества там не открытые, а ограниченные. Вообще можно считать, что борнология это идеал в булевой алгебре подмножеств. Интересно, но кажется эти идеалы можно строить очень по разному. Кроме функционального анализа борнологии активно применяются в грубой геометрии. Этой темой активно занимались украинские математики И. В. Протасов И Тарас Банах (слава Украине!). Еще тут есть глубокий разбор тем вроде приближения непрерывных функций полиномами. Это все делает книгу похожей на труд чешских математиков Fabian et al. Infinite dimensional analysis and geometry. Но подход Наричи и Бекенштейна мне больше нравится так как они не развивают теорию Банаховых и Гильбертовых пространств предварительно, по моим ощущениям теряя импульс движения.
Еще мне очень понравилось, что в этой книге параллельно в виде задач, дается теория для неархимедовых полей. Я так понял у этой теории есть два не очень похожих направления. С одной стороны это неархемедовы Банаховы пространства. Тут главной новацией является использование так называемых О-модулей над О-кольцом (просто возьмите элементы с нормой не больше единицы) и можно довольно быстро перейти к идеям родственным коммутатвной алгебре с гомологиями и абелевой категорией. А с другой есть локально-выпуклые пространства, где нужно работать с фильтрами. Есть тут и свои чудеса, вроде того, что все треугольники в неархимедовом пространстве равнобедренны. Например, все неархимедовы Гильбертовы пространства конечномерны. А любое локально-выпукло-компактное пространство выпукло-компактно. Оказывается, есть и современные статьи по неархимедовой выпуклой геометрии.
В общем могу сказать, что я до конца не дочитал, но буду обращаться если захочется углубиться в эту тему. Кстати почему Гротендик назвал ядерные пространства ядерными? Не намек ли это на то, что их можно использовать для разработки ядерного оружия? Если их используют для этого, то понятно почему Гротендик оставил эту тему. и большой жирный всем намек, что заниматься этой темой неэтично. А потом Гротендик совсем математику оставил, потому что неэтично, и ядерное оружие! Тут интересно найти параллели между Гротендиком и Тедом Качински. Один математик что-то понял и ушел жить в лес, а другой что-то понял, ушел жить в лес, и начал взрывать своих врагов бомбами. |
|