| Абстрактная теория меры |
Sep. 4th, 2022|03:25 pm |
Решил также повторить теорию меры. Люблю теорию меры. Если исключить ряд классических текстов, то основные ресурсы по этой теме это 2-х томник Богачева и 5-ти томник Фремлина. Фремлин подкупает тем, что весь контент выложен на сайте автора. Первые два тома Фремлина посвящены т.н. базовому или стандартному материалу, который часто включается в курс анализа. Однако чтения этих текстов привело меня к идеи разделения их содержания на абстрактную теорию меры и теорию меры в контексте действительного анализа. Этот пост основан на главах 11,12,13,21,23,25.
Абстрактная теория меры отличается тем, что сигма-алгебры измеримых множеств и собственно меры задаются на произвольных множествах, лишённых какой-либо структуры. Поэтому никаких Борелевских сигма-алгебр и тому подобного. Еще можно полностью проигнорировать конструирование меры Лебега на прямой и в Евклидовым Пространстве. Потому что все эти построения это как-раз и есть действительный анализ.
Абстрактная теория меры нужна для того чтобы иметь хоть где-то определение того, что такое мера. Так-то мера это понятие обобщающее длину, площадь, объем, массу, вероятность и так далее. Раньше люди пытались придумать универсальную функцию обобщающую функционал длинноты отрезков на произвольные множества и подчиняющиеся ряду аксиом. Так появилась большая и малая проблема меры. И если малая проблема меры имеет довольно простое решение. Но большая проблема меры оказалась нерешаемой. Поэтому пришлось меры ограничивать на сигма-алгебры. Кстати, проблемами меры еще в школе занимался Гротендик.
Множества называются пренебрежимо малым, если оно содержится в измеримом множестве меры ноль. Пренебрежимо малые множества образуют борнологию и сигма-идеал. Отсюда можно получить особую логику "почти наверное" или "почти всюду". Мера у которой все пренебрежимо малые множества измеримы. Чтобы абстрагироваться от сигма-алгебр математики придумали внешние и внутренние меры. Есть операция построения внешней или внутренней меры из просто меры и наоборот, есть операция пополнения. Можно тут нафантазировать функториальность и естественные преобразования.
Меры важны потому что они позволяют определить интеграл. Интегралы это очень важно. С интегралом Лебега все стандартно. Новым для себя отсюда я вынес нижней и верхний интеграл Лебега. Они позволяют интегрировать вообще любые функции, но многие соотношения для интегралов превращаются в неравенства.
Второй том предлагает более пристальный взгляд на проблему. Там содержится их классификация по конечности, меры вероятностные, конечные, сигма-конечные, строго локализуемые и полуконечные, по локализуемости, локализуемые и локально детерминированные, и по наличию атомов. Обычно сейчас студенты знакомятся с теорией меры через теорию вероятность и там всех этих свойств нет. Тут же их рассматривают с большой тщательностью. Есть тут и отличая между измеримыми и виртуально-измеримыми функциями которые устраняются для полных мер. Вообще у этой теории есть интересное развитие с категориями https://arxiv.org/abs/2105.11331.
Важнейшая теорема абстрактной теории меры это теорема Радона-Никодима. Она позволяет представлять конечный счетно-аддитивный функционал в виде интеграла некой "функции плотности" по мере, относительно которой он абсолютно непрерывен. Есть рассуждения вокруг этой теоремы. Вроде теоремы общего вида для замены переменной в интеграле. Есть и обобщения, которые идут дальше конечных функционалов. Вообще есть отдельный подход к абстрактной теории меры через функционалы или так называемые заряды. Ими занимался известный индийский математик Б. Рао. С ними связан еще и такая интересная вещь как векторно-значные меры и интегралы. Но это уже другая история. Заряды бывают еще конечно-аддитивные. Счетная аддитивность позволяет с продуктами мер (типа вероятностей). Разные физики, инженеры, экономисты и компьютерные ученные этим пользует. Просто, физикам кажется, что матан в природе везде должен работать по дефолту, а статистическая физика без этих свойств вообще не работает. Только философы и психологи, которые иногда все же пользуются вероятностью, не знают матан. Но для приличия говорят, что в этих науках у исследователей просто нет никаких оснований предполагать непрерывность мер. Один из классиков Байесовской вероятности Де Финети работал именно с конечно-аддитивными вероятностями. Он предпочитал рассматривать вероятность как психический феномен и так любил приводить примеры про игроков в азартные игры, что Джейнс обвинял его в пропаганде лудомании.
В общем случае есть и сложности с определением произведений мер. Поэтому тут возникают два вида произведений, примитивные и локально детерминированные. С вероятностными мерами такие сложности не возникают.
Фремлин пишет обо всем этом с большой тщательностью. Некоторые моменты и задачи я пропускал. В нюансах связанных с виртуальными и невиртуальными функциями легко запутаться и для приложений это не очень важно, кажется. Тем не менее это прекрасный опыт чистой математики. |
|