| Немного про теорию множеств и нестандартный анализ |
May. 25th, 2023|02:21 am |
После матлогики, я потратил некоторое количество сил и времени на изучение теории множеств. Это была 10 глава Белла и Маховера. До этого по этой теме я читал Халмоша "Наивная Теория Множеств" и Шень, Верещагин "Начала Теории Множеств". Но это был совсем другой опыт! Об этом говорит хотя бы то, что тут все развитие ординальной и кардинальной арифметике это easy exirsise left to the reader. После педантичного изучения методом математической наш приглашают к изучению языка теории множеств и ее моделей.
В отличие от почти всего моего предыдущего опыта, когда речь шла, о множествах как о чем-то объективно существующем, тут почти все утверждения про формулы на языке теории множеств. В итоге, я нахожусь в love-hate отношениях с Беллом, и Маховером. Этот, метод который Белл и Маховер отстаивали в 70-х можно назвать синтактическим конструктивизмом, и на мой взгляд, он приносит меньше удовлетворения, чем более платонический подход, который можно, например, найти у Jech-cа. Тем не менее это очень умный подход, потому что в этом случае валидность теорем вообще не зависит от того, есть ли какая-то теория множеств на самом деле или нет. К этим синтактическим методам можно отнести абсолютные формулы, принцип отражения и кодирование утверждений про теорию множеств, в самой теории множеств, что приводит к некому аналогу теорем Геделя о неполноте. Однако, связанные с этим технические трюки, и теоремы не очень интересуют, поэтому я потратил на эту тему не так много времени, сколько можно было в пределе.
В целом я бы предпочел изложении этих тем ближе к теории моделй. Тогда мы постоянно предполагали существование каких-то моделей, и можно было бы полностью погрузиться в шизофреническую атмосферу, когда внутри одной теории множеств конструируется другая теория множеств всего лишь счетной кардинальности, но тоже содержащая все возможные кардинальные и ординальные числа. И так Ad Nauseam. Но у Белла и Маховера все это сводится к свойствам синтаксиса, и происходит своего рода расколдовывание теории множеств.
Что же касается моделей теории множеств ZF. То тут разбирается только один пример, это конструируемая вселенная Гёделя. Она тоже тут рассматривается как часть синтаксиса. Но если бы у нас была платоническая модель теории множеств ZF, то там её действительно можно было построить. Тут важно заметить, что в каждой модели все что касается всех аксиом и гипотез, однозначно либо, истинно либо ложно. Никаких полумер. В частности, в этой модели Гёделя верна и аксиома выбора, и континуум гипотеза. Еще модель примечательна тем, что если ее рассматривать в другой модели, то это будет минимальная подмодель ZF, содержащая все ординалы. Белл и Маховер сравнивают эту модель с полицейским государством, где разобрались со всеми непонятными гражданами. Зная бэкграунд Моше Маховера тут скорее всего имеется в виду Израиль, где всех жителей, которые не смогли доказать свое еврейское происхождение лишили гражданских прав(но это не правда).
Следующий класс моделей, про которые я хотел бы рассказать, это булево-значные модели. Но про это у Белла есть отдельная книга. И там мы коснемся действительно интересных методов матлогики. Кстати, именно ради подготовки к чтению этой второй книги я читал Бела и Маховера, а не того же Jech-a. Jech и Манин тоже касаются этой темы, но Jech пишет про все подряд, а я хотел бы сосредоточиться только на интересующих меня темах.
Я решил не разбирать подробно 11-ю главу, про нестандартный анализ, прямо сейчас, а только просмотрел. Как минимум отложить ее пока не вернусь к алгебро-топологическим структурам, где это богатство можно применить. Но эта глава тоже очень интересная, потому что тут нестандартный анализ отличается от изложения у Робинсона, и, видимо, изложение основано на вышедшей ранее монографии Маховера. По сути дела это не глава, а отдельная маленькая книга. Но подход Маховера очень общий и зрелый. В современных терминах тут нестандартный анализ это эндофунктор на категории SET, который сохраняет конечные множества и конечные пределы. Отсюда следует как строить нестандартный анализ не только на действительных числах, но и на произвольных топологических пространствах.
Тут есть разные интересные свойства. Например, любую Хаусдорфову компактификацию пространства X можно реализовать как фактор-пространство любого нестандартного расширения *X. Так как компактификация Стоуна-Чеха в смысле универсального свойства является максимальной среди таких компактификации, получается что она должна подпирать нестандартные расширения. Мне стало интересно, можно ли ее использовать, для того, чтобы построить нестандартный анализ? Действительно можно взять функтор компактификации Стоуна-Чеха beta : ТOP -> HC и функтор дискретной топологии D : SET -> TOP, и сопряженные к ним I : HC -> TOP и U : TOP -> SET. Тогда, мне кажется, композиция U I beta D действительно будет нестандартным анализом. Сохранение конечных множеств следует из того, что конечные множества компактны. А насчет конечных пределов я не уверен, но кажется это следует из сопряжённости функторов, но я это строго не проверял. При этом получаются нестандартные расширения, которые строго равны соответствующим компактификациям Стоуна-Чеха на дискретных множествах.
Во всяком случае, человечество, на самом деле, издревле интересовалось связью нестандартного анализа и компактификацией Стоуна-Чеха. Вот, например, старая статья некоего Гарри Гоншора. По-моему, она немножко про другое, но понятно, что идея не новая. В конце Белл и Маховер пишут, что, хотя нестандартный анализ и имеет много достоинств, его нельзя использовать как замену классическому. Потому что на самом деле не стандартных анализов много. И чтобы понять какие конструкции не зависят от выбора функтора, нужно знать классический анализ. То есть, древние достроились до комплексных чисел исходя единственности определенных конструкций, а когда дошли до бесконечно малых при Лейбнице, то единственность из под ног ушла. При этом, как я понял, эти авторы предполагают, что определенный функтор выбирать не нужно. А можно было бы выбрать функтор, который ведет себя понятным образом, на понятных объектах. Например, превращает дискретные топологические пространства в компактификации Стоуна-Чеха. Можно было бы использовать более сложные функторы, например, чтобы учитывать как-то и алгебраическую структуру. У Гоншора была похожая идея. Например, он писал что дискретные группы связаны с функтором компактификации Бора. Надо бы по хорошему разобрать эти статьи, но я отложу это в долгий ящик. |
|