| Про Пучки |
Sep. 8th, 2023|09:03 pm |
Я писал тут недавно, что перехожу к теории топосов. Как я уже писал в том посте я продвигаюсь вперед ужасно медленно. Но это объясняется неизвестным вам причинами. Как я писал я выбрал для себя учебник Saunders Mac Lane , Ieke Moerdijk; Sheaves in Geometry and Logic : A First Introduction to Topos Theory.
В целом познание теории топосов широкой публикой осложняется тем, что существуют два дополняющих друг-друга определения топоса. Это топос Гротендика и элементарные топосы Лоури. Но если говорить популярно, то топосы это такие математические вселенные в которых возможны всевозможные конструкции. Так как определение топоса Гротендика опирается на концепт категории пучка, МакЛейн начинает свое изложение с понятия пучка над топологискими пространствами. И я пишу этот пост после освоения двух первых глав, перед переходам к настоящим, абстрактным топосам.
Из пререквизотов, для освоения этого материала вам понадобятся только знание начал общей топологии и абстрактной алгебры. МакЛейн кратко излагает основы теории категорий в самом начале. Но мне это ведение не понадобилось, потому я его не читал и ничего сказать про его достаточность не могу. Во всяком случае тут теория категорий это основное топливо. Все понятия из математической логики тут вводятся в процессе изложения. Однако предварительное знакомство с ней все же будет полезно, а также знакомство с дифференциально геометрией, алгебраической топологией и комплексным анализом. Потому что тут очень много примеров, которые теоретически можно пропустить. Но если все же потратить время на все эти примеры, это сделает опыт чтения ярче. Обилие примеров это одна из черт стиля МакЛейна. Другой, я бы назвал то, что не закапывается слишком глубоко в детали. Поэтому не раз я чувствовал желания написать какой-нибудь фрагмент доказательства или нарисовать коммутативную диаграмму. Но меня такой стиль вполне устраивает. Чего тут нет, так это гомологий в пучках. Если вам интересна эта тема, то придется читать другие книги. Кстати, Джонстон, который мне показался слишком сложным, как мне кажется показался слишком сложным, возможно, касается этой темы.
Первую главу сложно однозначно характеризовать однозначно. Но там тоже объясняются всякие предварительные понятия полезные для определения топосов. В целом, я уже знал большую их их часть, но тут более систематический подход с пулбэкам. Поэтому это мне было полезно. Тут, наверное, главное понятие это предпучки на категории. Предпучки это просто контравариантные функторы из малой категории в категорию множеств.
Другое интересное понятие тут это классификатор подобъектов. Он позволяет описать множество подобъектов любого объекта как множество морфизмов в этот классификатор. В категории множеств этот классификатор это бинарная булева алгебра {0,1}. Но благодаря теории булево-злачных моделей мы знаем, как построить похожую би-полную категорию с классификатором — любой булевой алгеброй B. У МакЛейна есть интересная интерпретация сложных классификаторов как путей к истине. В в случае категории предпучков эти пути к истине образуют решета морфизмов в базовой категории. Меня задел момент, когда МакЛейн писал, что в классических алгебраических категориях не может классификатора подобъектов. Потому что такой классификатор должен содержать в себе изоморфную копию, любого объекта этой категории. Например, это могла бы быть группа, содержащая в себе все группы. И конечно, такого не бывает. Но с этой задачей могла бы справиться модель-монстр теории групп из теории моделей. Она, конечно, не была бы множеством. Но если придумать другое определение категорий и топосов, чтобы можно было использовать два типа объектов, например, группы-классы и группы-множества. Причем переделать все универсальны кванторы только по группам-множествам, а все экзистенциональные кванторы, и по группам множествам, и группам классов. И тогда модель-монстр можно использовать как классификатор подобъектов. И эти классические алгебраические категории тоже будут элементарные топосами.
Грубо говоря, элементарные топосы это категории со всеми конечными пределами и копредалами, экспоненциальными объектами и классификатором подобъектов. Интересно, что в элементарном топосе множество подобъектов подобъектов образуют алгебру Гетинга. И сам классификатор подобъектов является объектом-алгеброй Гетинга в унивресальном смысле. Потому каждый элементарный топос обладает собственной внутренней, возможно неклассической, логикой.
Вторая глава тут собственно про пучки. Но только про пучки на топологических пространствах. Пучки это предпучки на категории открытых множеств топологического пространства для которых выполняется лемма о склеивание. Конечно, эти пучки являются элементарными топосами. И их классификаторы подобъектов это открытые множества исходного подпространства. Поэтому опять же открытые множества образуют алгебру Гетинга. Любая алгебра Гетинга, а значит любая (не)классическая логика, может быть реализована как алгебра открытых множеств некоторого топологического пространства. Это должно быть пространство Стоуна, этой алгебры. Но мы тут забегаем вперед. У Манина мы еще видели пучки вычислимых функций на рекурсивно заданных множествах. Поэтому видов пучков должно быть намного больше че только топологические пространства.
По моим ощущением, главная теорема этой главы, это результат про эквивалентность пучков и этальных пространств. Этальные пространства над X это топологические пространства снабженные локальным гомеоморфизмы снабженные локальным гомеоморфизмом в X. Это делает этальные пространства обобщениям накрытия из алгебраической топологии. Также как и накрытия они обладают некоторой связью с теорией Галуа, и позволяют переходить к т. н. этальным группам пространства. Но это тоже уже немного забегаю вперед. МакЛейн использует совершено потрясающую аналогию для разъяснения этой связи. Я чуть не упал со стула от смеха, когда это увидел. Он пишет, что про слои Этального пространства можно думать как про шашлык. И у накрытия это будет ровный и аккуратный шашлык из одинаковых кусочков. А у этального пространства на одном шампуре могут быть куски разного размера, и овощи. И почти что определение тут:
Так вот, сегодня мы узнали, что бывают математические вселенные, которые состоят из шашлыка. Живите с этим. |
|