| Топосы Гротендика |
Nov. 9th, 2023|10:04 pm |
Несмотря на долгое молчания я продолжал изучать эту книгу про топосы. Учитывая все мои мытарства на освоение третей главы у меня ушло целых два месяца. Однако, это того стоило, потому что я наконец-то дочитал до концепции нового уровня, а именно топоса Гротендика. Как всегда освоение нового уровня требует усилий.
Топосы Гротендика это буквально, по определению, категории изоморфные категориям пучков. Но не просто пучков на топологических пространствах, а пучков на ситусе (site). Ситусы это малые категории с топологией Гротендика. Топология Гротендика это обобщение понятия топологии с множеств на категории. Заметим, что определение топологии на множестве эквивалентно определению множества открытых покрытий. При этом в малой категории открытых множеств включение множеств соответствует просто существованию морфизма, вложения, между этими множествами. Идея, топологии Гротендика в том, чтобы повторить эту ситуацию, но с объектами категории вместо открытых множеств и просто морфизмами вместо включений. Тогда множествам покрытий соответствуют множества решет (sieve, обобщенных накрытий), которые меняются от объекта к объекту. Решето на объекте X это просто множество морфизмов с кодоменом X, замкнутое под предкомпозицей. Интересно, что про решета можно также думать как про подфункторы. Топологии Гротендика должны удовлетворять ряду свойств. Аксиомы топологии Гротендика это обобщения следующих свойств открытого покрытие: 1) Пространство покрывает само себя. 2) Покрытие множества ограниченное на его подмножество будет покрытием подмножества. 3) Если взять покрытие и заменить его множества на покрытия этих множеств, то мы снова получим покрытия.
Базовым примером ситуса является категория открытых множеств. Но есть и другие примеры. Например разные упорядоченные множества с "топологией порядка" или "плотной топологий". Наименьшая возможная топология Зарисского называется тривиальной, а наибольшая, не содержащая пустые покрытия, называется атомной. Важным примером, приведшем Гротендика к созданию этой теории, является топология Зарисcкого из алгебраической геометрии. Причем, ее можно определить не только для поля, а для произвольного коммутативного кольца k. Малой категорией для топологии Зарисского выступает категория двойственная конечно-порождённым коммутативным унитарным k-Aлгебрам. Покрытиями алгебры A я буду называть конечные множества элементов А, такие что единица лежит в идеале, порождённом этим множеством. Каждому такому элементу a можно сопоставить канонический гомоморфизм. В алгебру дробей A[a^(-1)]. И если алгебра A соответствуют алгебраическим многообразиям, то такие отображения соответствуют гиперповерхностям a(x) = 0 в этих многообразиям. Поэтому каждому покрытию алгебры A можно сопоставить покрытие "гиперповерхностями", что для многообразия означает покрытие дополнениями к геометрическим гиперповерхностям. И эти покрытия и порождают топологию Зарисского как топологию Гротендика. Использование ситусов тут продиктовано тем, что в произвольном кольце k может не выполняться теорема Гильберта о нулях.
Сам по себе встает интересный вопрос, существует ли аналог топологии Зарисского у некоммутативных колец? Например, подобную теорию развивал Розенберг. Интересно, что другой вариант ответ на этот вопрос пришел из теории моделей, где придумали структуры Зарисского. С этой теорией можно ознакомиться в диссертации Солянки из Оксфорда.
Пучки на ситусах это предпучки (контравариантные функторы в категорию множеств), которые позволяют единственно-возможным образом склеивать согласованные семейства элементов на обобщенных открытых множествах покрытия (говоря проще, на покрышках), и получать элементы на покрываемом объекте. Самый канонический пример это непрерывные функции на открытых множествах. Другой пример, это структурный пучок в топологии Зарисского, который является просто забывающим функтором. Про элементы этого пучка на k[a^-1] можно думать как про рациональные функции, у которых может быть полюс только в поверхности a(x) = 0. Можно догадаться, что категории пучков будут элементарными Топосами. А элементарные топосы, которые эквиваленты категориям пучков и будут топосами Гротендика. Можно определить топосы Гротендика, без отсылок к пучкам. Этот результат называется теоремой Жирада, и он достаточно технически сложный.
Поэтому, у категорий Гротендика есть присущие элементарным топосам фичи. Их объекты можно складывать, умножать и возводить в степень. Также есть классификатор подобъектов, который состоит из замкнутых пучков. Пучки и топоса Гротендика будут иметь логику подпучков, которая соответствует полной алгебре Гетинга. Причем, любую полную алгебру Гейтинга можно получить таким образом. На упорядоченных множествах с топологией плотности, эта логика будет булевой. А если взять атомную топологию, то эта топология будет атомной, то есть каждый элемент булевой алгебры будет содержать атом. Поэтому атомная топология так называется.
Интересный и нетривиальный пример — это топос B(G) дискретных множеств с непрерывным действием топологической группы G. Оказывается, такие множества можно представить как пучки на малой категории, где открытым подгруппам G сопоставляются множества классов смежности. Если в качестве группы G взять группу перестановок натуральных чисел S_infty, то получаемая конструкция называется топосом Шануэля. Можно доказать, что он эквивалентен пучкам на категории конечных подмножеств натуральных чисел с морфизмами-инъекциями. Этот пример уж точно не сводится к топологическим пространствам.
***
Равномерные пространства позволяют оперировать интуитивными понятиями элементарной метрической топологии, когда никакой метрики нет. Есть определение равномерной структуры Туки: равномерная структура это множество "равномерных" покрытий, которое является фильтром относительно звездных измельчений. Раньше мне это определение казалось довольно неуклюжим по сравнению с более алгебраическим определением А. Вейля через антуражи, но теперь меня заворожило его сходство с определением топологии Гротендика. На топологических пространствах Топологии Гротендика это тоже фильтры покрытий, только относительно порядка просто измельчений. Причем, равномерные структуры Туки будут топологиями Гротендика в категории открытых множеств пространства, если этим пространства полностью ограничены, то есть имеют компактные пополнения. Это не удивительно, ведь для компактов топология содержит полную информацию о равномерной структуре (все непрерывные отображения компакта равномерно непрерывны). Поэтому такие равномерные структуры соответствуют топологиям на компактных пополнениях.
Французский академик Ив Андрэ в своей статье uniform sheaves and differential equations использовал эту идею для того, чтобы обобщить концепцию раздутия на проколотые p-адические области и определить p-адические когомологии де Рама. Область научных интересов Андрэ называется не-Архемедовой алгебраической геометрией. Если вам интересна эта область математики, то я бы рекомендовал начинать с изучения книги Non-Archimedean Analysis: A Systematic Approach to Rigid Analytic Geometry. Она начинается с самых азов не-Архимедового анализа и не требует особой предварительной подготовки в современной алгебраической геометрии. Потом можно читать книгу Берковича https://bookstore.ams.org/surv-33-s. Потому что пространства Берковича, ставшие фундаментальными в этой теории появляются именно там. Эта книга не такая фундаментальная, но довольно короткая.
Но пишу я об тут не ради не-Архимедовой алгебраической геометрии, а потому что меня эти равномерности просто торкнули, и я начал задаватьcz вопросами. Например, можно ли, используя аналог определения Туки определить равномерные структуры на ситусах? Основной преградой к этому является определение звездных измельчений. В общей топологии эти измельчения определяются с помощью теоретико-множественных операций. Но в случае общих категорий этот подход нам недоступен. Поэтому пока я думаю, что звезда Туки для морфизма в решете должна определяться через универсальное свойство кодекартова квадрата, но не просто кодекартова квадрата, а такой кодекартовой кирпичной стены, состоящей из всех ненулевых расслоенных произведений с морфизмами в решете. Но я не уверен. вопрос как правильно, зависит от возможности найти интересные примеры.
Для того, чтобы разобраться с примерами. То нужно для начала разобраться с тем, как равномерность связана с топологией. Считать, что равномерность просто порождает топологию Гротендика неправильно. Потому что тогда нам не получиться повторить интересную ситуацию с компактными пополнениями, и раздутиями. Кажется, что на практике топологии Гротендика топологии получаются из топологий Гротендика равномерности путем добавления пересечений цепей измельчений. И это можно считать частью определения того, что равномерность на ситусе подходят топологии Гротендика. Теперь можно задаться вопросом, какие равномерности можно задать на топологии Зарисского? А какие на топосе Шануэля? Если Топология Гротендика порождает саму себя как равномерность, то такой топос можно назвать компактным. А если у топоса есть равномерность, которая сама является топологией Гротендика, то паракомпактным. Можно рассуждать о раздутиях паракомпактных топосов и пополнениях топосов в более общем смысле. И все это без каких-либо отссылок к точкам, метрикам и сходящихся последовательностях. Поэтому, неудивительно, что существует теория равномерных локалей, которая должна включаться и сюда. Про локали я планирую рассказать через один математический пост.
Другой интересный вопрос это равномерные пучки. Понятно, что когда равномерность является топологие Гротендика, то равномерные пучки это просто пучки для этой топологии Гротендика. Но можно ли определить их аналог, для случая когда равномерность не топология Гротендиика? Кажется, что в общем случае мы получим просто предпучки, поэтому лучше говорить не равномерные пучки, а унипучки, потому что он не пучки. Я думаю, что можно был ослабить определение пучков и потребовать, чтобы они склеивались только на звездных измельчениях, чтобы оно всегда работало на равномерностях. Причем, понятно отсюда, что унипучков будет больше чем пучков. С одной стороны, можно считать Пучки непрерывными функциями со значениями множествами, поэтому унипучки это не равномерно-непрерывные функции со значениями-множествами. Унипучки это что-то, что можно склеивать равномерно, то есть на практики, только с помощью маленьких аккуратных движений. И равномерность как-раз задает правила того, что считается аккуратным. Мне кажется, что унипучки будут разделенными пучками на топологии, к которой они подходят. То есть если их можно склеить, то это можно сделать только единственным образом. Получается, что каждая равномерная структура задает какое-то погружениям в хорощо-устроенные категории. Можно предположить, что категория унипучков должна быть квазитопосом. Примеры унипучков, которые не являются пучками: ограниченные функции на открытом интервале, разные функции ограниченного роста, непрерывные функции с конечным числом особых точек на действительной прямой. Но это все примеры на открытых множествах. А какие могут быть примеры в более абстрактном контексте.
У Андре есть еще более общее определение равномерной структуры на объекте категории с конечными степенями. Но совершенно не понятно как его использовать. Может быть мое определение соответствует тому, чтобы взять в качестве объекта топос Гротендика в категории квазитопосов. Тогда антуражи будут соответствовать погружениям топоса Гротендика пучков в квазитопос унипучков.
Другое важное замечание Андре это связь предкомпактных равномерных структур c борнологиями. Это ставит на сцену связь между топологиями Гротендика и грубой геометрией. Кажется именно такие пространства и их гомологии является ее предметом. Что-то из этого было давно известно.
***
Пока любые попытки рассуждать, о топосах Гротендика приводят меня к примерам, связанным с топологией. Поэтому, мне хочется сказать, что топосы Гротендика это категории, работа с которыми похожа на работу с топологическими пространствами. В том же смысле, что абелевы категории, работа с которыми похожа на работу с коммутативными алгебраическими объектами. Даже если забыть о ситусах. В целом категории ситусов и топостов Гротендика эквиваленты. И их можно считать разными взглядами на одно и то же. Поэтому Топосы можно представлять себе как такие топологические пространства, которые в общем случае почему-то нельзя полностью описать, а можно только частично. И каждый пучок является частью такого описания. С другой стороны топосы можно считать чем-то вроде теорий множества, зависящих от параметров. Но об этом я расскажу в следующий раз. |
|