| Бессмысленная Топология |
Feb. 1st, 2024|02:41 pm |
  
Давайте расскажу вам, друзья, о своих математических штудиях. От изучения топосов, к которым надюсь скоро вернуться, я решил перейти к изучению бессмысленной (pointless) топологии. Политкорректно эту науку, конечно, называть безточечной (point-free) топологией. But I'm a free-speech absolutist!
Легко заметить, что топологии топологических пространств обладают алгебраической структурой упорядоченной решетки. Центральная идея бессмысленной топологии рассматривать не пространства с конкретными точками, а алгебраические структуры похожие на решетки открытых множеств. Как известно из теории топосов эти решетки открытых множеств всегда имеют структуру полной алгебры Гейтинга. Поэтому такие алгебраческие структуры в целом описывают как категорию полных алгебр Гейтинга, где морфизмы это отображения, сохраняющие произвольные дизъюнкции и конечные конъюнкции. Это категорию называют категорией фреймов. Сразу замечу, что эта категория будет алгебраической, поэтому можно с спокойно говорить про свободные фреймы. Двойственная к ней категория называется категорией локалей.
Так как функтор топологии, отображающий пространства в их фреймы открытых множеств контравариантный, то естественно считать именно локали настоящими бессмысленными пространствами. Важный момент, это что морфизмы Локалей задают связность Галуа между соответствующими алгебрами. Фреймы и Локали — это Гог и Магог бесмысленной топологии.
К забывающему точки функтору топологии можно построить сопряженный справа, который будет строить для локали точечное представления. Это точечное представление состоит из морфизмов фреймов из исходной алгебры в булеву {0,1}. Эта пара сопряженных функторов имеет как положено единицу и коединицу. Те топологические пространства для которых единица является гомеоморфизмом называются трезвыми. Они так намазываются, потому что, грубо-говоря, это такие пространства, где точки не очень сильно путаются. Например, любое Хаусдорфово пространство трезво. В то же время локали для которых коеденица является изоморфизмом называются пространственными. Грубо говоря, это те локали которые можно получить как топологии настоящих топологических пространств. Сопряженная пара функторов становится эквивалентностью полных подкатегорий трезвые пространства и пространственные локалей.
Но если не все локали пространственные, то откуда берутся оставшиеся локали? Оказывается, что любая локаль может стать классифицирующем объектом в гротендиковом топосе. И топосы Гротендика и Локали находятся в почти полном соответствии. Поэтому, если разобраться с какой-то проблемой или понятием для локалей, то мы разъясним его не только для топологических пространств, но и для топосов Гротендика. Поэтому тема локалей меня и заинтересовала. Например, когда я читал про топосы Гротендика у Маклейна, то меня заинтересовал вопрос, как может быть утроена равномерная структура у топоса. Но есть относительно разработанная тема с равномерными локалями (симметричными и нет), и даже метрическими локалями. А значит, разобравшись с этими темами должно все стать понятно и с равномерными локалями, и с метрическими топосами. Определенную сложность состовляет рвзвитие этих идей для элементарных топосов, которые не являются Гротендиковыми. Но тут нужно применять креативное мышление.
Очень интересный вопрос, что такое подлокали локалей. Из двойствености следует, что это что-то вроде фактор-пространств фреймов. Но интересно, что подлокали находятся в полном соответствии с особым классом операторов, действующих на локаль, которые называются нуклиями. Эти операторы являются идемпотентами, и монотонными инфляторами, сохроняюшими конечные конъюнкции. Удивительно, но множество всех нуклий само является фреймом и Локалью. И сопоставление локали с ее множеством нуклей задает функтор. С помощью этих нуклей можно легко показать, что любой фрейм вкладывается в полную булеву алгебру. Канонические нуклии это булинизатор neg neg, а также каждый элемент локали задает свою замкнутую и открытую нуклию, которые являются комплементарными. В целом нуклии это уже знакомые нам топологии Ловера-Тирни для топосов. Поэтому, получается, что подлокали в чем-то эквивалентны подкатегориям пучков.
Есть еще преднуклии, которые не являются идемпотентами. но с помощью трансфинитного процесса их можно превратить в нукллии. Если нуклии соответствуют топологиям Ловера-Тирни, то интересно, чему соответствуют преднуклии в теории топосов? На этот счет есть статья иранских товарищей про слабые топологии Ловера-Тирни. Но я сейчас не хочу туда углубляться.
Есть еще такая крутая тема как локали измеримых множеств. Ее придумал Дмитрий Павлов. Оказывается, что полные булевы алгебры, которые получаются из алгебр меры полностью вкладываются в категорию фреймов. Поэтому, получается, что на бесточеном уровне все понятия связанные с измеримостью оказываются частным случаем топологических. Тема алгебр меры довольно старая. Ей занимались еще Фон Нейман, Стоун и Махарам. Интересно, было бы покапать, что получится если там осознано использовать идеи из теории локалей.
Расскажу про Книжки:
Stone Spaces Джонстона — это самый главный труд в этой области. Джонстон сам почти всю эту науку и придумал. Я долгое не время не мог понять из названия про что она. Но она оказалась не столько про каменные пространства, сколько про бессмысленную топологию. По содержанию это просто гераклитов огонь. Тяжело читать, но оно того стоит. Каждая странница это горы мудрости. Из пререквизитов нужно хорошее знание общей топологии, алгебры и знакомство с теорией категорий вплоть до монад. ЭТО книга 1980 года, достаточно пожилая. Поэтому, не смотря на глубину, я не уверен, что подбор тем достаточно актуален. Некоторые из них кажется достаточно эзотерчными. И учитывая трудоемкость, я не думаю, что освою ее целиком. Тем не менее тут есть интересные темы вроде спектров Зарисского и двойствености Гельфанда. И я планирую дочитать хотя бы до них.
Frames and Locales: Это более современная книжка 2012 года. К сожалению не дотягивает до уровня джонстона не педогогически, не по концептуальном уровне. К сожалению, авторы часто отступают от теоретико-категорных принципов, поэтому не смотря на то, что текст более новый он читается как что-то времен Гильберта. Это все, скорее всего сделано, для повышения доступности. Но, на самом деле, они просто нагородили много нотации, так что эту книгу очень сложно читать не линейно. Тем не менее тут довольно много результатов, и тут много материала про равномерные локали, который меня интересует. Поэтому тоже будем ознакамливаться.
Topology via Logic Викерса: А это уже совсем концептуальная вещь. Тут так много сложной математики, потому ее, наверное можно просто прочитать. Зато тут много прикольных иллюстраций и есть про приложения в сomputert science. Грубо говоря, идея автора в том, что топология это особый тип логики, приспособленный для описания конечного числа эмперических наблюдений. По идеи это должно привести к пониманию открытых множеств как полу-вычислимых предикатов. Я как-то писал об этой идеи ссылаясь на пересказ пересказа Джета Неструева. Теперь будет возможность разобраться с этой идеей из первых рук. |
|