| Механика Маха: принцип рычага Архимеда |
May. 11th, 2024|07:24 pm |
Меня очень интересует вопрос о логико-математических основаниях физики. Я искал-смотрел как это все обставляется в разных учебниках физики. И самое убедительное, что я нашел, это разные отсылки к Эрнсту Маху. Поэтому я решил, что можно просто брать и читать Маха.
Мне кажется, что Эрнст Мах наряду с Больцманом был одной из самых ярких фигур последних десятилетий эпохи классической физики. Кроме физики Мах активно занимался и философией. И можно сказать, что он был первым философом от физики. За свои философские взгляды социал-демократ и атеист Мах получил прозвище "Будда Физики".
Первая физическая задача, которая рассматривается в этой книге — это принцип рычага Архимед. Архимед якобы говорил: "Дайте мне точку опоры и я сдвину землю". Под этим имелось ввиду, что можно взять рычаг, выбрать точку опоры разделив его на части с длинами l и l', и поставить на соответствующие концы (точечные) массы m и m' то рычаг будет лежать в равновесии тогда и только тогда, когда выполняются пропорции (m/m') = (l'/l). Иначе рычаг отклоняется в сторону где функционал действия f = ml больше. То есть Архимед якобы говорил, что если одна масса — это он сам, а другая земля. То можно так подобрать точку опоры, то есть параметры (l,l'), что Архимед перевесит землю.
Этот закон был известен еще Аристотелю. Но Архимед дал первое математическое доказательство. Мах же считал, что доказательство Архимеда содержит в себе круговое рассуждение. Для Маха опровергнуть Архимеда было важно, потому что доказательство грека было полностью математическим, а сам Мах считал, что новых физических знаний нельзя получить без эмпирического опыта. Однако Маха критиковал не только Ленин. И, например, Гёльдер считал критику Маха необоснованной. Сейчас, я так понял, консенсус такой, что доказательство Архимеда все же верно. И в то же время, никто не спорит с тем, что для получения знаний в физики необходимы эмпирические знания. И принцип рычага легко вывести из классической механики и векторного анализа. Но меня все же интересуют как-бы минимальные модели и доказательства.
На чем же все таки основано доказательство Аристотеля. Оно основано на равномерном размазывание массы по рычагу. Можно для простоты представить, что рычаг бесконечный, и тогда мы работаем уже не с параметрами (m,m',l,l'), а с распределениями массы на прямой. Основная аксиома Архимеда — в том, что симметричные распределения сбалансированы. Тогда равномерное распределение на отрезке с длинной 2L и массой m + m' будет симметрично относительно центра отрезка, и там можно ставить подпорку. Потом часть этого равномерного распределения с массой m трансформируется в точечную массу с тем же центром массы. И тоже делается с остатком массы m'. Архимед считал, что такая операция не может нарушить баланс рычага. Назовем это скрытым предположением Архимеда (СПА). После алгебраических упражнений мы получим известную пропорцию типа ml = m'l' . То есть большая массы перетягивает к себе центр. И СПА можно было бы упростить до утверждения, что баланс достигается, когда подпорка стоит в центре массы. И из такого утверждения еще проще алгебраически вывести пропорцию. Но проблема в том, что мы этого не доказали. И получается, что СПА имеет эмпирическую природу.
pic
 Реконструкция доказательства Архимеда Гёльдером
Теперь я хотел бы предложить собственное доказательство а-ля Сасскинд. Возможно я и видел его у Сасскинда, но забыл где именно. Я предлагаю формализовать рычаг Архимеда как систему из 4-х положительных вещественных параметров (m,m',l,l') и функцию наклон N : R^4_++ --> {-1,0,1}. Тут N(m,m',l,l') = -1 значит, что рычаг наклонен влево, N(m,m',l,l') = 1 — вправо, и N(m,m',l,l') = 0 значит что система в равновесии. 1-я аксиома (А1) может звучать так, что если повернуть рычаг, то его наклон поменяется или что N(m,m',l,l') = - N(m',m,l',l). Отсюда следует, что симметричная конфигурация находится в равновесии: N(m,m,l,l) = 0. И мы получаем первую симметрию типа S_2. Еще две симметрии получаются из соображений размерностей. То есть если мы изменим единицы измерения массы и длины, то конфигурация рычага не изменится. И мы можем считать, что все зависит только от отношений типа N(m/m',l/l'). Это симметрии типа R_++. 2-я аксиома (А2) может звучать так, что для любой тройки параметров можно единственным образом найти четвертый так, чтобы система сбалансировать Это соответствует тому, что рычаг не ломается и не застревает. Тогда можно записать функциональные зависимости типа m' = m f(l/l'), и l' = l g(m/m'), где f и g это неизвестные монотонные биекции R_++ --> R_++. Можно перейти к пропорциям вида m'/m = f(l/l') и l'/l = g(m/m'). И пользуясь 1-й симметрией можно получить соотношение m'/m = f(g(m'/m)). То есть f,g взаимно обратны. А также для них выполняется соотношение типа f(1/x) = 1/f(x).
Но, кажется, что форму этих функций нельзя получить только из 3-х симметрий. Например можно взять функции возведения в квадрат, и извлечения корня. Чтобы получить дополнительный результат нужно ввести дополнительную симметрию. Например нужно сказать, что-то про производную f. И это, кажется, можно выводить из обычной механики. Типа бесконечно-малая симметрия. А вот можно придумать еще вот такую странную симметрию (СС): операция которая меняет местами массу и длину, то есть условием N(m,m',l,l') = N(l,l',m,m'). Тогда f = g, И получается, что f это монотонно возрастающая (или убывающая при другой записи) инволюция. И кажется, что такая инволюция — это всегда id. То есть так можно получить правильное решение!
Кажется СС нельзя обосновать эмпирически. Но можно обосновать через максимизацию энтропии. То есть представим, что у нас на вход идут четвертки чисел (x_1,x_2,x_3,x_4), и мы знаем, что они задают сбалансированный рычаг. Но мы не знаем, какое параметр стоит на каком месте. И проверяя пропорции в общем случае можно научиться различать два типа параметров. Но однозначно определить, где право и где лево, и где масса и где длина, мы не сможем. А если бы f была бы какой-нибудь другой функцией, не id, то мы могли бы узнавать, где длинна, и где масса! И информация бы увеличилась, а энтропия бы уменьшилась! А в классической ньютоновской механике массу и пространство путать нельзя, потому что они имеют разную размерность и зависимость от времени. Вот, что еше интересно узнать, будет ли f нелинейной в релятивистском контексте? Например, если на одном из концов рычага черная дыра?
И получается, что мои A1 и A2 также обосновываются эмпирически как СПА. Но СС никак не эмпирическое. И скорее всего эти рассуждения верны для любых систем с группой симметрий типа R^2_*. То есть я тут на собственном опыте убедился, что производство новых знаний не требует эмпирического опыта. И что Мах был не прав. |
|