rex_weblen

Теории Галуа.
Aвторы: Франсиc Борсьё, Джордж Джанелидзе;
дата издание 2001 год

Обязательный отчет о моем продвижение. Прошел 6-ю главу из вышеупомянутой книги. Она про связь теории Галуа с накрытиями. Про это есть глава и у Миши в его замечательном учебники топологии. Отличии подхода тут в том, что речь идет не только о топологических пространствах, а о широком классе категорий. Эти категории характеризуются тем, что там любой объект представим как копроизведение связных объектов. Напомню, что связные объекты, это те объекты для которых хом-функтор сохраняет копределы. Заметим, что категория топологических пространств вообще не подходит. Но подходит категория локально-связных топологических пространств с этальными отображениями в качества морфизмов. Так вот, если в такой категории еще есть терминальный объект, то можно построит «геометрическое спаривание» с категорией SET. Там левый сопряженный функтор — это функтор компонент связности, в серединке функтор «дискретное объединение точек», а совсем справа функтор точек или глобальных сечений, как посмотреть. Относительно этой струкуры можно построить Теорию Галуа. Эффективными спусками для таких категорий будит все эпиморфизмы. И так как вторая категория — это категория множеств, то группоиды Галуа будут обычными группоидами. И для спусков Галуа на связные объекты они будут обычными группами. Морфизмы, которые расщепляются какими-то эффективными спусками называются накрытиями. Объект категории называется Галуа-замкнутым, если все его накрытия расщепляются. Накрытие называется универсальным если оно одновременно Галуа-замкнутую область определения и само является эффективным спуском. Для связных объектов, которые имеют универсальные накрытия можно построить фундаментальную группу Шевалле. Потому что универсальные накрытия сами будут спусками Галуа, и у них будет группа Галуа. Понятно, что эту теорию можно применить у локально связным топологическим пространствам. Тогда фундаментальная группа Шевалле совпадает с фундаментальной группой Пуанкаре, когда обе из них определены. Где еще это можно применить у меня прям четкого понимания нет. Может быть к динамическим системам или эргодической теории, где вместо компонент связности будут эргодическое компоненты. Возможно банальная идея. Но стоит запомнить на будущие.