| Теория представлений конечных групп: упрощенный подход |
Jan. 8th, 2020|02:27 pm |
За время новогодних праздников прочитал книжку Representation Theory of Finite Groups: An Introductory Approach Штайнберга. Как можно догадаться из названию она про представления конечных групп. Смысл же существования это книжки в упрощенным подходе к изложению относительно классических текстов Фултона и Серра, которое должно позволить освоить это предмет даже конченному дебилу вроде меня.
В чем же это упрощение заключается? А в том, что при изложение не используются такие понятия как тензорное произведение, модуль над групповой алгеброй и т.д.; Также в книге отсутствуют многие продвинутые темы такие как: модулярные и полупростые представления над полями целой характеристики, теоремы Атина и Браура , современные гипотезы и т.д. Все это одновременно есть и минус и плюс. Почему минус, наверное, понятно. А плюс потому, что благодаря этому своему свойству в книжке меньше 150 страниц осмысленного текста, и все ее содержание можно освоить за небольшой промежуток времени. Также, лично мне, приятно было видеть доказательства, основанные на конкретных манипуляция с конечными группами и характерами, а не абстрактном нонсенсе. Из недостатков стоит отметить излишнюю любовь автора к координатам и явной записи матриц, но, возможно, другого изложения теории представления не бывает.
Особое мое внимания к этой книг привлек ряд рассматриваемых там приложений. А именно, гармонический анализ на группах с приложениями к теории графов и знаменитая теорема Дьякониса про перемешивание колоды карт. Немного разочаровало, что последнее дано не в полном объеме, а только наметками. Поэтому к нему придется возвращаться еще раз. Однако, очень большое удовольствие доставило доказательство двух теорем Бернсайда про строение конечных групп. Например, первая из них доказывается с использованием алгебраических целых, а последняя утверждает, что у группы нечетного порядка число сопряженных классов конгруэнтно числу элементов по модулю 16.
Задачки в книге тоже имеются. Но довольно скучные и простые. Поэтому я решил только небольшую часть из них.
Интересно, что у автора еще есть книга про представление конечных моноидов. Уже не такая элементарная, и тоже с интересными приложениями. Ее я прочитаю как-нибудь в другой раз.
Так я начал год 2020. |
|