У нас тут всю неделю гостит знаменитый Варадараджан, с лекциями притом. Сегодня он нам популярно объяснил почему

1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... = 1/2

1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - .... = 1/4

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ... = - 1/12

и напоследок почему

1 - 1 + 2 - 6 + 24 - 120 + 720 - 5040 + 40320 - ... = 0.59634736

Всё это было известно Эйлеру, который по всеобщему мнению был самый плодовитый и полезный математик всех времён и народов, и которого нелёгкая угораздила провести 26 лет в Санкт-Петербурге. Он производил статьи с такой скоростью, что тогдашние немногочисленные научные журналы не успевали их печатать. Последняя его статья была опубликована через 80 лет после его смерти. Вот ссылка на статью в русской Википедии.