Неизменно промахиваясь - Post a comment

Трудность состоит в том, что мы всё время перескакиваем с одного уровня понимания вещей на другой, причём это специально не оговаривается. Скажем, если мы занимаем чисто формальную позицию, то "истина" не имеет смысла вообще. При этом выводимые утверждения будут приравниваться к истинным, а те, у которых выводимо отрицание - к ложным. Такой подход возможен, но он не вынужден, т.е., признавая его актуальность, можно пытаться выходить и за пределы. Причину необходимости выхода за пределы объяснить легко. Выводимость подразумевается из данного множества аксиом типа теории множеств. Когда-то теории множеств не было. Завтра я или Вы можем предложить новую удовлетворяющую всех аксиоматику. При этом "пределы видимости" будут всё время меняться. Это говорит об условности данного подхода, так как он привязан к текущей (пусть даже общепринятой) конъюнктуре.

О понятиях. Формула - это правильно составленный набор знаков, т.е. объект чисто семантический. Интерпретация - это непустое множество + конкретное сопоставление а) предметным константам формулы некоторых элементов множества, б) функциональным символам формулы - операций на этом множестве, в) предикатным символам формулы - отношений на множестве. Если я возьму формулу \forall a \forall b \exists x \exists y (f(x,y)=a & g(x,y)=b), то этот набор значков станет истинным на множестве комплексных чисел при условии, что f мы сопоставили сложение, g - умножение. Для вещественных чисел это будет уже неверно; более того, можно интерпретировать и f, и g столь извратно, что утверждение будет не истинным совсем. Определение истинности формулы в данной интерпретации использует теоретико-множественный язык и даётся индуктивно по сложности построения самой формулы (число использованных связок и кванторов).

Истинное всегда = истинное в ЛЮБОЙ интерпретации (т.е. таких формул в каком-то смысле довольно мало). Я думаю, что дал ответы на вопросы из первого абзаца.

По поводу второго абзаца и недостаточности призязки к конкретной аксиоматике я уже сказал в начале.

Теорема Гёделя предполагает наличие лишь чисто логических аксиом. В этом смысле она (или, точнее, ИП) служит как бы ядром математики. Дополнительные аксиомы можно выбирать в самом деле любые. Это могут быть аксиомы Евклида или аксиомы Кантора (грубо говоря). Но, рассуждая, мы всегда принимаем эти аксиомы "как бы за истину", т.е. просто разрешаем ими свободно пользоваться, безотносительно их смысла. Поэтому наше рассуждение всегда можно считать чисто логическим - это основа аксиоматического подхода. Набор логических средств, достаточных для вывода всех тавтологий, может быть разным. Но указание на то, что конкретный набор средств полон - это содержательная и важная теорема логики. (Равно как и информация, что тот или иной набор элементов порождает группу, а другой - не порождает.) Скажем, у Гёделя можно избежать такой вещи как "разбор случаев". Этот приём применяется очень часто, но можно обойтись и без него.

Кстати, система аксиом и правил вывода там довольно проста. Я бы мог привести все 5 аксиом и 2 правила вывода, чтобы Вы смогли наглядно всё увидеть. (Замечу, что до того, как эти вещи выписаны, само утверждение теоремы ещё не имеет смысла.)

По поводу последнего Вашего абзаца я должен очень сильно возразить. Если мы находимся внутри математики, то в существовании натурального ряда никто не сомневается. Если же мы обсуждаем вопрос на уровне foundations of mathematics, то возможны совсем разные подходы к вопросам такого (будто бы реального) феномена как натуральный ряд. В этом случае уместно сомневаться в существовании "очень больших чисел". В разное время этот вопрос затрагивали совсем разные математики: Пуанкаре, А.С.Есенин-Вольпин, П.К.Рашевский, Вопенка и другие. В частности, есть книга Вопенки "Математика в альтернативной теории множеств" (в русском переводе с чешского), где вся математика строится, исходя из понятия конечного. Принцип индукции при этом отрицается, так как, исходя из здравого смысла, "не до любого числа можно досчитать". Эффект бесконечности просто имитируется через "очень большие числа" (которые никогда никто не видел, равно как и бесконечные множества). При этом получается красивая и строгая альтернативная теория, чем-то напоминающая по содержанию нестандартный анализ.