[Перевод] Решение Fizzbuzz при помощи теоремы Эйлера

FizzBuzz — это известная задачка на программирование, которую обычно дают в технической части собеседований. Она формулируется примерно так:

Напишите функцию, выводящую список целых чисел от 1 до 100, но вместо каждого числа, кратного 3, она должна выводить «Fizz», а вместо каждого числа, кратного 5, выводить «Buzz». Вместо чисел, кратных и 3, 5, программа должна выводить «FizzBuzz»; все остальные числа должны выводиться без изменений.

Можно написать функцию, вообще не использующую условную логику и вместо этого разделяющую целые числа на 4 возможные категории (обычное решение оставим в качестве упражнения заинтересованному читателю):

1. Имеющие делитель 3, но не 5
2. Имеющие делитель 5, но не 3
3. Имеющие делитель и 3, и 5
4. Не имеющие делитель 3 и 5

Нам нужна функция, которая будет возвращать:

• «Fizz», если $$ и $$ является взаимно простым с 5
• «Buzz», если $$ и $$ является взаимно простым с 3
• «FizzBuzz», если $$ и $$
• $$ во всех остальных случаях.

Рассмотрим реализацию такой функции на Python:

[(lambda n: { 1: n, 6: "Fizz", 10: "Buzz", 0: "FizzBuzz" }[n**4%15])(n+1) for n in range(100)]

Та же функция на Ruby:

(1..100).map{|n| {1 => n, 6 => "Fizz", 10 => "Buzz", 0 => "FizzBuzz"}[n**4%15] }

Как мы и ожидали, каждая из этих функций возвращает список целых чисел от 1 до 100 с подставленными в нужные места «Fizz», «Buzz» и «FizzBuzz».

Но почему? Откуда взялись постоянные значения 0, 6, 10 и 1? Почему $$ возвращает 6 для чисел, кратных 3, но не 5, 10 для чисел, кратных 5, но не 3, 0 для чисел, кратных 5 и 3 и 1 во всех остальных случаях? И самое важное — справедливо ли это для любого $$, которое мы выберем?
Читать дальше →