Семинар
Я тут пробил твой семинар по странному стечению обстоятельств, однако решил пару задач, которые планирую рассказать в этом комментарии:

4. Для SL2(R) неверно ни разу, берём в Mat 2x2 замечательную квадратичную форму ad-bc, ограничиваем на SL2(R) - касательные к SL2(R) безтрэйсовые, определитель у них может быть любой, однако сохраняется домножением на SL2(R) матрицу.

Для SU2 верно, т.к. это кватернионы, они транзитивно действуют на сферизации своего касательного пространства в единице, а потому я могу перевести любой вектор в пропорциональный другому - таким образом, у них одинаковый знак скалярного произведения с собой.

6. Во-первых, нам потребуется то, что группа связна. Далее, утверждение можно заменить на более сильное:

Пусть G действует на M транзитивно слева(справа), уважая метрику. Тогда если w на M гармонична, то она лево(право)инвариантна.

Доказываем: Гармоничные формы под действием G переходят в гармоничные, с другой стороны, любой элемент группы G действует на многообразие, не меняя его когомологии, т.к. Z-когомологии дискретны, а любой элемент связной группы можно представить в виде произведения большого числа весьма мало отличнающихся от единицы элементов этой группы. Таким образом, по теореме о том, что любая гармоничная форма взаимнооднозначно соответствует классу когомологий выводим, что форма перешла в себя.

Используя этот факт два раза для действия G на себе левыми и правыми сдвигами получаем наше утверждение.

-----

Про остальные надо уточнить некоторые формулировки, займусь в ближайшее время.