Наверное следует поправить:
проходящее через y -> проходящее через x

Для существования сечения в окрестности (по Зарискому или нет --- неважно) точки y необходима доминантность p в точке y (замыкание по Зарискому образа p содержит окрестность точки y). В гладких y с этим условием (которые образуют плотное по Зарискому подмножество в Y, если морфизм доминантен) задача легко сводится к расширению гладкой аффинной области B с помощью одного целого над ней элемента a. Остаётся "увидеть", что уравнение целой зависимости a над B допускает "аналитическое" решение (в рядах соответствующих пополнению, связанному с точкой y). Возможны проблемы, но этот подход кажется разумным.