Миша, скажите пожалуйста -- периодичность Ботта в комплексной К-теории между K(X) и K(S^2X) -- это, вообще говоря, изоморфизм только абелевых групп или это всегда будет изоморфизм колец?

Странно, обычно Миша отвечает на математические вопросы.
Может быть, вы спросили что-то очевидное?

Да, анону спасибо.

Миша, уточню, всё-таки, поскольку до меня не дошло: K(X) -- множество классов вект. расслоений (либо стабильно эквивалентных либо -- более грубо, рассматриваемых с точностью до прибавления тривиальных -- это если мы редуцированную К-теорию рассматриваем) -- обладает операциями суммы и тензорного произведения вект. расслоений, т.е., является кольцом.

Изоморфизм Ботта между K(X) и K(S^2X) (двойная надстройка над X) будет сохранять именно структуру кольца (гомоморфизм колец)?

Я может чего-то не понимаю, но такое ощущение, что там (в т.ч. и у Атьи в книжке) есть некая граница, до которой есть изоморфизмы колец типа

K(X)\otimes K(S^2) = K(X \times S^2), а дальше -- изоморфизм именно абелевых групп вида

K(X)=K(X)\otimes K(S^2) (который посылает a \mapsto a\otimes (H-1)),

здесь используется то, что K(S^2) как группа -- свободная циклическая по сложению с порождающим H-1, где H-канонич. расслоение над S^2 и изоморфизм именно как модулей) = K(S^2X) (последнее равенство это изоморфизм колец).

Но вот этот порождающий H-1 -- он в квадрате (мультипликативно) равен нулю и сомнительно, что первый изоморфизм модулей будет кольцевым.