а все-таки интересно, как из существования максимального идеала вывести аксиому выбора.
видимо надо вывести лемму цорна, для этого нужно для любого упорядоченного множества L, где каждая цепочка имеет верхнюю грань, построить кольцо, которое в качестве своего уп. множества идеалов (без 0), имеет в точности L.
для групп это вроде сложная задача которой занимались в 50е-60е годы, вроде даже не все решетки реализуются как решетки подгрупп.
для колец можно попробовать взять какое-то поле и брать его какие угодно произведения и дек произв с результатами и тд, по трансфинитной индукции строя L. y RxR только два идеала, у
Rx(RxR) тоже два, но во втором два вложенных и в таком духе. на как любую решетку так сделать не знаю.

или там совсем по-другому пути?