tiphareth: Для связи (ноябрь 2012)

(Читать комментарии) - (Добавить комментарий)

Книга по топологии, задача 1.7

epic_toddler
2013-08-08 22:49 (ссылка)

Миша, подскажите! В вашей книге по топологии (/top-book.pdf), в указании к задаче 1.7 по двум произвольным векторам x, y\in V генерируется пространство V_0, и предлагается доказать, что если эти векторы не коллинеарны, то V_0 со скалярным произведением g изоморфно R^2 с обычным скалярным произведением.

Насколько я понял, идея доказательства в том, что имея значения g(x, x), g(y, y) и g(x, y), мы можем подобрать вектора f(x) и f(y) на плоскости так, что их скалярное произведение будет соответствовать скалярному произведению в V_0: g'(f(x), f(x))=g(x, x), g'(f(y), f(y))=g(y, y) и g'(f(x), f(y))=g(x, y).

Но g'(f(x), f(x))=|f(x)|^2 (квадрат длины f(x)),
g'(f(y), f(y))=|f(y)|^2
g'(f(x), f(y))=|f(x)|*|f(y)|*(cos p) (p - угол между f(x) и f(y))
Получается,
|f(x)|=sqrt(g(x, x))
|f(y)|=sqrt(g(y, y))
и g(x, y)=sqrt(g(x, x))*sqrt(g(y, y))*сos p.

Но ведь у нас не должно быть никаких ограничений на значения g(x, x), g(y, y) и g(x, y)! То есть я могу взять, например, g(x, x)=1, g(y, y)=1 и g(x, y)=10000000, и тогда, получается, я не смогу подобрать на плоскости такие векторы, куда бы можно было отобразить x и y так, что в результате получился бы изоморфизм, сохраняющий скалярное произведение.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)

	Re: Книга по топологии, задача 1.7 tiphareth 2013-08-08 22:56 (ссылка)
	надо найти ортогональные векторы длины 1 это нетрудно (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	Re: Книга по топологии, задача 1.7 epic_toddler 2013-08-09 22:21 (ссылка)
	Разобрался, спасибо! (Ответить) (Уровень выше)

Re: Книга по топологии, задача 1.7

ljranonymous
2013-08-09 10:59 (ссылка)

>То есть я могу взять, например, g(x, x)=1, g(y, y)=1 и g(x, y)=10000000
Не можешь, потому что тогда g(x-y, x-y) = g(x,x)+g(y,y)-2g(x,y) < 0
А от скалярного произведения требуют, чтобы было g(x,x) >= 0 (равенство только если x=0).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	Re: Книга по топологии, задача 1.7 epic_toddler 2013-08-09 22:22 (ссылка)
	спасибо (Ответить) (Уровень выше)

(Читать комментарии) -