Re: filling radius
у вас определение неправильное
filing radius это число, которое ставится в соответствии _паре_ метрических пространств A \subset B, таких что метрика на A _индуцируется с_ B.
в случае окружности и плоскости это так и ваш ответ правильный (fil.rad=1)

в случае окружности с внутренней метрикой, лежащей в плоскости мы выходим из этой ситуации, так как внутренняя метрика не индуцирована с метрики на плоскости. чтобы как-то распространить определение, нужно все-таки вложить нашу окружность с внутренней метрикой во что-то изометрично (еще раз: метрика должна индуцироваться честно, т.е. растояние в B равны расстояниям в A. То есть теорема Нэша тут не поможет, например, и мы даже не можем сказать что можем вложить окружность в R^n (мы и не можем)). И вложив все изометрично в пространство Куратовского мы можем определить fil.rad как нижнюю грань положительных действ. чисел s, со следующим свойством:

A можно затянуть диском в s-окрестности A

(отсюда и название filling radius, потому что филлинг это когда у нас есть многообразие, а мы хотим его затянуть многообразием на единицу большей размерности, для которой оно граница, с сохранением каких-то структур)

так что утверждение про pi/3 не тривиальное и не очевидное, так как нужно иметь дело с камими-то бесконечномерными пространствами и т.д. априори.
википедия говорит что нужно использовать систолические неравенства и верхнюю оценку через диаметр (которая как раз и есть диаметр/3)

пардон если вы это уже прочитали в вики