>доказывается в одну строчку (у тебя там точная последовательность комплексов)

Вперед.

Hint: почему она точная справа?

Кстати, для дерамовских когомогий неочевидна и конечномерность. Т.е. даже эйлерову характеристику нельзя определить.

В общем, если подумать, с дерамовскими когмологиями нельзя сделать *вообще ничего*. И применить их тоже нельзя никак (пока нет снигулярных и теоремы сравнения).

Единственное, что для них легче пишется, это умножение.

>да без проблем, когомологии пары (X,Y) суть когомологии форм, которые зануляются в окрестности Y. Тут нужно, чтоб Y был многообразием или типа

Это не имеет никакого отношения к. Там весь пойнт это что можно Y стянуть в точку и забыть про него. Но это конечно разрушает гладкость.

Хотя большей дикости, чем требовать гладкости для определения когомологий, трудно придумать, да.