Главное \SO-расслоение --- это набор тривиализаций и переклеек с коэффициентами в \SO, отвечающих правилу коцикла. Задать спин-структуру означает выбрать подъём этих переклеек в универсальное накрытие. Для произвольного подъёма то, насколько для него не выполнено правило коцикла, есть коцикл с коэффициентами в ядре универсального накрытия, то есть в Z/2. Легко видеть, что для любых двух таких поднятий полученные коциклы будут отличаться на кограницу. По постороению получившийся класс когомологий функториален, а, значит, и является вторым классом Штифеля-Уитни.