Извини, не ответил сразу. У меня нет копьютера. Весь день сидел дома, где специально нет интернета, потому что время жрет, сволочь; писал записки лекций по АГ для своих студентов.

Из того, что отчетливо знаю, рискнул бы предположить, что препятствия есть. Если бы знал, какие конкретно, решил бы пару известных проблем. Например, если взять минимальный (по суммарной длине) граф который порождает фундаментальную группу (Дима Панов заметил, что он единственный; private communication) --- пусть это будет, скажем, фундаментальная группа замкнутой поверхности $S$ --- то наверняка есть препятствия к тому, чтобы этот граф содержался во вложенной $S$, но как они выглядят, мне неясно.

Про теоремы жесткости есть замечательные лекции Саши Фурмана (есть на видео от Вышки, конец мая 2016). Там все довольно красиво (и не только для постоянной кривизны).

Про второй вопрос думаю, что ответ отрицательный, причем с запасом. Но додумывать до строгого доказательства неохота. (Скорее всего, независимо от типа комбинаторного описания многообразия, можно проинтерпретировать чего-нибудь неразрешимое. --- Многообразия, тем более 5-тимерные, слишком многообразны и неисчерпаемы как атом группы.)

Тёрстон всё-таки невероятно прекрасен !
Ну дык Терстон же!