Настроение:	tired
Музыка:	Rada - ishchut nazvanie, aga

Эдинбург, Лагранж, кватернионы
Друзья,
я уезжаю в Эдинбург на
душеспасительное мероприятие.
Вернусь третьего августа.

Следующая смешная штука пришла ко мне
в голову пока я готовился к докладу:
простое доказательство теоремы Лагранжа
о том, что всякое целое положительное число
представляется в виде суммы четырех квадратов.


Рассмотрим кольцо R целых кватернионов.
Норма бьет из этого кольца в целые числа
(a+Ib+Jc+Kd -> a^2 + b^2 +c^2 +d^2)
и она мультипликативна. Нужно доказать,
что ее образ - все числа. Из-за мультипликативности,
достаточно доказать только для простых чисел.

Пусть p простое. Если p=xy, где x, y целочисленные
необратимые в R кватернионы, тогда

p^2 = N(p) = N(x) N(y),
но поскольку N(x) и N(y) не единицы, то
N(x)=p. Значит, нам нужно доказать, что
каждое простое целое число непросто в R.

Пусть p просто в R. Рассмотрим кольцо
R/pR целых кватернионов по модулю p.
Оно некоммутативно, значит по теореме Веддерберна
имеет делители нуля. Возьмем x, y такие, что
xy делится на p, а x, y не делится на p.
Поскольку p просто в R, x и y взаимно просты с
p. Применяя алгоритм Евклида, находим целые кватернионы
такие, что

1= ax + bp,
1 = yc + pd.

Перемножив правые и левые части этих уравнений, находим

1 = a xy c + Z

где Z делится на p. Поскольку xy тоже делится на p,
получаем, что 1 делится на p - противоречие.

Забавное, и наводит на соображения о необходимости
изучать целочисленные кватернионы. Известные мне другие
доказательства теоремы Лагранжа безумно нудные и длинные
(хотя многие из них больше дают, конечно).

Привет