Ну посмотри -- оно там в самом конце, в специальной главе "доказательства" (а остальную часть книги лучше не читать). Грубо говоря, берешь пространство всех возможный решений, строишь на нем довольно очевидное сжимающее отображение, применяешь теорему о неподвижной точке. Нужна пара оценок конечно (чтобы доказать, что пространство полное, а отображение сжимающее); но с банаховым, если делать честно, оценок нужно будет в разы больше. В общем, не особо ужасное.