Тебе нужна топология, совместимая с умножением. Т.е. C^\infty. И потом негильбертово топологическое векторное пространство. Про которое надо еще понимать, в каком смысле оно полное. В принципе, это считается куда сложнее, чем существование и единственность решений. Другое дело, если оно все у тебя независимо уже есть, тогда грех не использовать.

Правда, ты доказываешь не вполне то -- у тебя не требуется и не используется отстуствие нулей (одно в другое перегоняется стандартным способом, но объяснить, что с нулями засада, в какой-то момент полезно).