>Где вера в конструкцию?

Для начала, в слове "модельная категория".

Реально же, если почитать Homotopical algebra, то видно, что абстрактное определение там для приличия (Квиллен потом говорил, что этой книги стесняется, типа, хотел написать "как Гротендик"). Реальное понимание того, что происходит, есть только для сопряженных функторов. И только в рамках формализма модельных категорий, про который все знают, что он слишком жесткий. Но как его ослабить, никто так и не придумал.

>Dwyer,Kan,Hirschorn and Smith

Там про hocolim, ага? Сопряженный функтор.

Не говоря уж о том, что понятие гомотопической натегории наоборот слишком слабое, и это тоже все знают (если взять абстрактную категорию с классом слабых эквивалентностей, пускай даже насыщенным, локализация не всегда дает то, что надо).