>Поэтому можно и про неабелев случай думать как "поправки к точности".

Это не помогает -- у нас нет точности с одной стороны, непонятная правильная степень общности.

Аналогичная проблема есть с локализацией по Двайеру-Кану. Они разумно пишут, что просто локализация работает правильно только для свободных категорий, а в общем случае надо брать резольвенту. В качестве мотивации дается group completion -- которое для свободного моноида дает свободную группу, а в общем случае появляются высшие гомотопические группы. Для тополога это закрывает вопрос. Для не-тополога это дико: с какой стати в чисто алгебраическом вопросе про локализацию вдруг появляются топологические пространства? Я никакого внятного объяснения не знаю, и потому считаю, что мы не понимаем, как оно на самом деле устроено. А жаль.

>циклические гомологии и функтор представлений (representation functor)

Такой способ смотреть на циклические гомологии действительно есть, но лично мне он никогда не помогал.