>алгебра когомологий ее классифицирующего пространства свободна и порождена одной образующей

То, что там одна образующая, не значит, что оно K(\pi,n) (оно и не). Т.е. любая нетривиальная высшая гомотопическая группа S^3 дает нетривиальное расслоение с тривиальными харклассами. Компактность тут совершенно ни при чем.