Ок, сам запутался, спросил у эксперта (у Тони). В общем, ситуация такая. У Хиронаки тоже кратности, но они в каком-то смысле контролируемые. Здесь они совершенно не контролируемые. Более того, образ исключительного множества может быть сильно больше, чем сингулярный локус. Т.е. что "последовательность раздутий с гладкими центрами в сингулярном локусе" само по себе не критично, но имеет практические следствия типа вот этого вот контроля за кратностями. Ну и оно совершенно не каноническое, т.е. эквивариантное разрешение, например, так не получить (а из Хиронаки его получили).

Однако же чисто формально, для определения типов особенностей например, разрешение Богомолова-Пантева вполне годится (и Абрамовича-де Йонга тоже, оно формально другое, но похожее). Т.е. если бы оно было в char p, например, это бы сильно помогло. Однако там в последний момент требуется убивать какое-то там ветвление, и это работает только в char 0.

State-of-the-art по состоянию на 2005 есть в обзоре Коллара, arXiv:math/0508332, и с тех ничего существенного не поменялось. Коллар пишет, что на самом деле доказательство Хиронаки сейчас уже сильно упростили и улучшили, и все реально рассказать за 2 недели в конце аспирантского курса по алг. геометрии (конкретно он имеет в виду доказательство Влодарчика). Но я не читал, так что сам не знаю.