>не понял, о чем ты

Во-во -- ты даже не замечаешь.

>я беру форму, усредняю ее по компактной группе, класс когомологий не меняется

Откуда следует, что операция усреднения на когомологиях хорошо определена?

Разумеется, усреднение форм индуцирует какой-то эндоморфизм на когомологиях, но он уже никаким интегрированием по группе априори не задается, это надо доказывать (а точнее, надо доказывать, что интегрирование по группе на когомологиях вообще определено, т.е. что действие группы на них хотя бы измеримо). А если ты этого не доказал, то из того, что класс когомологий для каждого g тот же, совершенно не следует, что он тот же для усреднения.