В алгебрах есть diamond-lemma (G.Bergman), которая частный случай некоторого (довольно тривиального) факта (называется, кажется, лемма о композиции) доказанного А.И.Ширшовым.
По этому поводу много написано Л.А.Бокутем.

Про ассоциативные алгебры с одним соотношением есть работа В.Н.Герасимова примерно 1979.

В группах же есть небольшая наука.
Она плохо изложена в книжке Линдона и Шуппа.
Александр Ольшанский опубликовал большое количество работ в этих рамках.
Смысл теории в том, что соотношения --- это 2-клетки; порождающие --- это порождающие (свободной) фундаментальной группы 1-скелета соответствующего 2-комплекса.
Чтобы доказывать положительные результаты нужна разумная грубая геометрия на универсальном накрытии 2-комплекса.
Фактически теория (типа теории малых сокращений) работает лишь на группах близких к гиперболическим по Громову (точнее, на группах, которые "в большом" кривизны =< 0, как бы CAT0).

Есть много отрицательных результатов (для полугрупп, групп, алгебр) утверждающих, что та или иная проблема алгоритмически неразрешима.
Кажется эта тема давно вышла из моды.