Но в целом, я понял как это решает задачу со звездочкой.

Нужно подобрать (n-k) форму w, задающуюю распределение локально, ker w = B.

Воспользоваться (каким-то исправленным) вариантом твоего указания, чтобы записать dw=\beta \wedge w. И потом умножить на подходящую функцию aw, чтобы занулить дифференциал d(aw)=0. aw будет базовой по задаче 9.21