Пусть V кокасательное пространство. Алгебра форм это тензорное произведение алгебры функций и внешней алгебры от V, причем на внешней алгебре дифференциал равен нулю. По правилу Лейбница, дифференциал есть d \otimes \id. Conversely, что это дифференцирование вполне очевидно (это общий факт про произведение двух алгебр); d^2 это коммутатор d с собой, т.е. тоже дифференцирование (потому что они градуированно-коммутативны), и надо только проверить, что d^2 равно нулю на функциях. Вот это надо проверять, да.

Единственный выбор в конструкции это выбор разложения в произведение, т.е. выбор изоморфизма между 1-формами и свободным модулем над функциями, порожденным V.

>если правда интересно

Ну как: я уверен примерно на 146%, что это невозможно. Т.е. ты меня очень удивишь.