>Еще один тупой вопрос: бывают ли lck, на которых комплексная структура единственна?

Хороший вопрос! Видимо, нет, по крайней мере пока что не придумали таких

>А какие вообще у них есть интересные дифференциально-геометрические свойства? Помимо того, что lck не эйнштейновы.

ну, связность Вейля есть, сохраняющая комплексную структуру и конформный класс, если форма Ли такой связности Вейля замкнута, многообразие
сразу LCK

>Имеются ли какие-нибудь следствия из предыдущих пунктов на топологию и/или комплексно-аналитические свойства многообразий.

кроме как для поверхностей, нет, хотя вопрос хороший
ну, известно, что они не допускают кэлеровой метрики

>Очень тупой вопрос, но не могу сообразить (или вспомнить): может ли универсальное накрытие lck быть биголоморфно шару в \C^n (с метрикой Бергмана или с какой-то другой кэлеровой метрикой)?

хороший вопрос, ответ - не бывает, потому что метрика
Кобаяши на факторе шара кэлерова

для других симметрических пространств, видимо, тот же ответ

>Ну и дань китайской моде: какие есть "канонические метрики" (обычных эйнштейновых нет, но мб есть аналогичные понятия) на lck/вайсмановых многообразиях.

мы много с этим возились, особо осмысленного ответа не нашли
хороший вопрос, спасибо, надо не забыть добавить