> требует теоремы Кантора-Бернштейна и аксиомы выбора

Да, кстати, забыла написать. Вы пытаетесь обойтись без аксиомы выбора, а сами рассматриваете без оговорок гильбертов куб как ни в чем не бывало :-) Это Пыткеев заметил, которому я листочки с топологией показала.

А где там аксиома выбора? Я не в курсе, возможно.

Счетная аксиома выбора предполагается очевидной,
без нее нельзя.

Я не то чтобы пытаюсь обойтись без аксиомы выбора,
просто теорию множеств в разумном объеме мы им не давали,
так что использовать утверждения типа леммы Цорна
не очень хочется (хотя без них никак довольно часто).

Но в принципе, разумная математика должна строиться
на другой аксиоматике, типа аксиомы детерминированности
или (равносильного более-менее) утверждения, что
для любого разумного задания сигма-алгебры на
множестве, любое его подмножество будет измеримо.
Сейчас это нереально, конечно (даже не доказано,
что аксиома детерминированности не приводит к
противоречию, если обычная ZF-теория множеств
не приводит к противоречию).

Счетная аксиома выбора верна в такой ситуации все равно.

Такие дела
Миша

Ну как же, когда мы конструируем Тихоновский куб, иы же должны брать множество всех отображений из I в [0,1]. Если I несчетно, то счетной аксиомы выбора не хватит. Или я что-то не так понимаю?