Я кажется поняла, что получится в пределе.

Ограничимся графами G_n, высота которых -- 2^n.
Рассмотрим пространство М, точками которого являются объединение интервалов из [0,1] с концами в двоично-рациональных точках. Введем на М метрику, как я писала раньше: d(X,Y)=1-inf{X+Y-XY} (в скобках - симм.разность).
G_n следующим образом изометрически вкладывается в М: для точки x \in G_n первая цифра x определяет, включается ли первый интервал длины 2^{-n}, т.е. [0,2^{-n}], в F(x), вторая цифра -- второй интервал, и т.п.
Тогда искомым пределом будет, видимо, замыкание объединения образов G_n в М. А этим замыканием будет, наверное, множество таких элементов Х пространства М, для которых для любого c<1 пересечение X с [0,c] состоит из интервалов, длины которых ограничены снизу положительной константой.

Это примерная конструкция, тщательно я ее не обдумывала, может там еще что-нибудь поменять надо.

Да, не написала, что замыкание -- это потому, что тут проективный предел этих образов F(G_n) получается, т.е. получается цепочка вложенных подмножеств М (заодно мы определили согласованные вложения G_n->G_m при n<m).