Эх, надо сначала думать, а потом писать...
Посмотрела еще раз последнее свое письмо про Осн.теорему алгебры. Все не так, как надо.
Вот окончательный вариант:
------------------------------------------------
Для упрощения обозначений, мы будем в дальнейшем
предполагать, что минимум $|P|$ достигается в нуле.
Мы хотим доказать, что минимум $|P|$ равен нулю.
Пусть это не так. Пусть $k$ -- самое маленькое число
среди $1, 2, 3, \dots, n$, для которого
$a_k\neq 0$.
Домножив $P$ на $a_0^{-1}$, и сделав замену
$x=z\sqrt[k]{a_k^{-1}}$, мы получим многочлен вида
\[
Q(z) = 1 + z^k + b_{k+1} z^{k+1} + b_{k+2} z^{k+2} + ...
\]

\begin{zadacha}[!]
Докажите, что для любого
комплексного $z$ с $|z|< (1/2)\max \left(1, \sum |b_i|\right)^{-1}$,
\[
\frac{|Q(z)-1 - z^k| }{|z^{k}|}<1/2.
\]
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Выведите из этого, что для любого положительного
вещественного $\epsilon< (1/2)\max \left(1, \sum |b_i|\right)^{-1}$
и любого комплексного $z$, для которого $z^k=-\epsilon$, выполняется
\[
|Q(z)-1 +\epsilon| < \epsilon/2.
\]
Вывести из этого, что $|Q(z)|<1=Q(0)$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Докажите Основную Теорему Алгебры:
каждый многочлен $P$ положительной степени имеет
корень в $\C$.
\end{zadacha}
------------------------------------------------

В итоге получилось почти то, что у вас и было :-) Только у вас там путаница с \epsilon и \epsilon^k и ограничениями.