Что-то я ничего не поняла здесь...
И что такое единичный круг на плоскости Лобачевского с очень большой кривизной -- тоже не поняла. Куда этот круг поместится-то?

Рассмотрим треугольник на плоскости Лобачевского.
Его площадь это его сумма углов. Если площадь
маленькая, стороны практически не отстоят
друг от друга (сторона идет вплотную
с одной стороной, а потом расходится
с ней, и идет вплотную с другой), и
треугольник напоминает нарисованный
на дереве.

Сумма углов равностороннего
треугольника со сторонами 1 это
инвариант плоскости Лобачевского,
который обратно пропорционален кривизне
ее (с минусом). Если мы устремляем кривизну
к бесконечности, этот треугольник
превращается в треугольник на дереве.

> Локально компактное пространство может
> и получиться.

Да, возможно. Хотя в природе обыкновенно
получаются компактные штуки.

>сформулированному Вами утверждению о
> том, что пространство всех
> (ограниченных и т.п.) пространств с
> метрикой Г-Х компактно.

Предкомпактно, строго говоря - то есть
каждое ограниченное замкнутое подмножество
компактно.

Насчет противоречия - надо подумать.

Такие дела
Миша

Предкомпактность тоже не получается: все эти G_n находятся в шаре радиуса 1 с центром в одноточечном пространстве. Берем замыкание, оно тоже будет в этом шаре, и... никакой предельной точки.