Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет Misha Verbitsky ([info]tiphareth)
@ 2005-11-02 23:58:00


Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Настроение: tired
Музыка:Чернила для пятого класса - МАЛОЛЕТКА
Entry tags:arxiv, mathematics

Hodge theory on nearly Kaehler manifolds
Выложил статью
"Hodge theory on nearly Kaehler manifolds"
http://arxiv.org/abs/math.DG/0510618

NK-многообразия это почти комплексные многообразия,
по проявлениям очень похожие на обыкновенные
(3-мерные) многообразия Калаби-Яу; я писал про них
довольно подробно вот тут. С одной стороны, они
интересны тем, что на них решаются те же уравнения
струнной физики, что на обыкновенных Калаби-Яу
("type IIB String Theory equations"). С другой
стороны, на них натянуты конические особенности
G_2-многообразий, которые в физических приложениях
еще важнее обыкновенных Калаби-Яу, ибо из них
получается M-теория.

С тех пор, как NK-многообразия придумали в конце 1960-х,
почти все теоремы про них имели вид "есть классификация
многообразий, обладающих свойством X, можно доказать,
что все такие многообразия - либо такие, либо такие
(перечисляются разные классы), либо nearly Kaehler".
Исключений всего два - это теорема В.Ф.Кириченко
о том, что NK-многообразия допускают связность
с кручением, которое (относительно этой связности)
параллельно, и теорема Хитчина (и другая
такая же теорема, полученная мною и в
другой, более слабой форме - Брайантом)
о том, что NK-многообразия суть минимумы
различных естественных функционалов.

Теперь мне удалось вывести алгебраически
соотношения между различными естественные
дифференциальными операторами на NK-многообразиях,
следуя более-менее той же модели, из которой
выводят теорию Ходжа на обыкновенных кэлеровых
многообразиях. Поскольку NK-многообразие
не комплексное, у оператора де Рама есть
четыре ходжевы компоненты (две обычные -
типа (0,1) и (1,0) и две C^\infty-линейные,
типа (2,-1) и (-1,2), получаемые из тензора
Ниейнхуйса). Так вот, каждую из этих компонент
можно прокоммутировать с оператором Ходжа
\Lambda (сопряженным с умножением на эрмитову
форму), и получить нечто, пропорциональное
оператору, сопряженному с комплексно
сопряженной компонентой. Это же верно
и на обычном кэлеровом многообразии,
и там из этого сразу следует, что половина
лапласиана, связанного с оператором де Рама,
равна лапласианам, связанным с двумя дифференциалами
Дольбо. На NK-многообразии все несколько
более странно - там почему-то лапласиан
де Рама равен сумме двух лапласов:
\[
\Delta_d = \Delta_{d^{1,0}-d^{0,1}} + \Delta_{d^{2,-1}+d^{-2,1}}
\]
Первый из них связан с разностью (0,1) и (1,0)-компонент
де Рама, а второй - с суммой (2,-1) и (-1,2)-компонент.
Почему сие получается (то есть какая мораль у этой
формулы), мне неведомо, но теория Ходжа для
компактного NK-многообразия из этого соотношения
вытекает сразу.

Привет



(Добавить комментарий)

а чо ??
[info]concolor
2005-11-03 12:13 (ссылка)
толи мне тоже сводку своей текущей статьи о е*-стабильности и е*-ответвляемости выложить ??
интересно, будет ли хоть 1 коммент ??
а чо, попробую ...

(Ответить) (Ветвь дискуссии)

Re: а чо ??
[info]tiphareth
2005-11-04 09:59 (ссылка)
А что есть e^*-стабильность?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

е^*-стабильность
[info]concolor
2005-11-04 16:07 (ссылка)
е^*-стабильность ввёл мой шеф - Е.А. Палютин. Это обобщение обычного понятия стабильности. Вообще говоря e^* - это отображение из множества полных типов одного языка l_1 над некоторым множеством в множество неполных типов уже другого языка l_2 над тем же множеством. А e^* - стабильность теории в мощности \lambda это требование, чтобы для любого множества A мощности не превосходящей \lambda и любого полного типа t\in S_T(A) тип e^*(t) имел не более \lambda пополнений в S_{t_2}(A). Обычная стабильность получается если взять l_2=l_1\cup\{c\} - то есть l_2 это расширение l_1 одной константой. Я ещё дальше обобщил это понятие, и теперь множество понимается тоже не как полная диаграмма множества констант в мостр-модели, а как множество языков (не буду вдаваться в подробности). Кроме того, я не фиксировал логику первого порядка, а просто аксиоматически задал требования на логику, чтобы можно было бы получить обобщения основных теорем о стабильности. В частности, обобщил теорему о характериации стабильности через определимость типов.

А теперь надо ити дальше - развивать структурную теорию для e^*-стабильности. Вот сейчас я обобщаю теорию ответвляемости на случай e^*-стабильности. В классике есть понятие простой теории - это такая теория, которая позволяет задать хорошее тернарное отношений независимости на множествах (это обобщение понятий алгебраической, линейной зависимости). Стабтльная теория является простой, обратное не верно. Вот и основной смысл моей деятельности сейчас - получить аналогичные результаты для e^*-простых теорий. На текущей момент самая критическая проблема заключается в том, что я сформулировал достаточные условия для того, чтобы все было хорошо (по крайней мере на начальном этапе), но пока неизвестно ни одного неклассическог примера, когда эти достаточные условия выполняются. Основная проблема с логикой - для неклассического примера нужна логика более сильная, чем логика первого порядка, но компактная, с интерполяционным свойством и ещё с одним совйством, которое по существу говорит о том, что это логика должна быть фрагментом логики второго порядка. И я пока не знаю примера такой логики.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: е^*-стабильность
[info]m
2005-11-08 01:52 (ссылка)
A Палютин сейчас где ? Вообще-то я почти ничего не понял, кроме определения с трудом...Контекст хоть какой ? Вы обобщаете на интуиционисткий случай или инфинитарный непервого понядка ? Приведите пожалуйста примеры е*-стабильных теорий.

Миша, а я мантру придумал, все слова термины т.моделей и смысл правильный: а можно придать и социологический!

в теории

стабильность==отсутстие порядка==независимость==размер(ен)ность

размерность---это примерно наличие геометрии Зарисского, только слабже,
без понятия о замкнутых множествах.
как Вы и говорили, оно таки вроде верно для симплектических многообразий

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: е^*-стабильность
[info]concolor
2005-11-08 12:10 (ссылка)
Палютин сейчас на месте - в Новосибиске :) Насчет понимания - ну не могу же я приветси точные определения и формулировки! (очень много получится) Вот выйдет статья - тогда дам ссылочку ;) Насчет контекста: 1) логика не обязательно инфинитарная или интуиционистская (хотя в принципе может быть такой). На логику просто накладываются некоторые ограничения (т.е. требования), при выполнении которых удаётся доказать обобщённые факты. Два главных требования: компактность и свойство Робинсона, ну ещё несколько более технических. Для развития теории простоты требуется уже \omega-компактность, а не просто \lambda-компактность для регулярного кардинала \lambda. 2) что касается примеров. Обычная стабильность - тривиаьный тример. Но не единственный! В середине 80-х годов появилось понятие о-минимальной теории. Это теория с линейным порядком и с некоторым условием минимальности. А именно, определимые одномерные подмножества в такой теории это в точности конечные оъединения открытых интервалов и точек (в выделенном порядке). Наличие порядка автоматически делает теорию не стабильной, но, тем не менее, для о-минимальных теорий оказалось возможным развить богатую структурную теорию. Более того, некоторые методы теории о-минимальных структур удивительным образом напоминали методы теории стабильности. Дык вот, о-минимальные теории е*-стабильно определимы (фактически е*-стабильны для некоторого специального отображения е) - и это самый интересный пример, поскольку появляется надежда развить теорию, обобщающую и теорию стабильности и теорию о-минимальных струкутр. да, небольшая поправда для мантры ;) стабильность==отсутстие порядка=>независимость==размер(ен)ность

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: е^*-стабильность
(Анонимно)
2005-11-08 20:16 (ссылка)
я несколько знаком с о-минимальностью и стабильностью.
(1) например, логика Эль_омега1омега подходит ?

(2), конечно, очнеь интересно. можно ли объяснить, что значит, что вещественное поле е*-стабильно, и как это получается из общей теории ?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

Re: е^*-стабильность
[info]concolor
2005-11-09 15:33 (ссылка)
(1) L_{\omega_1\omega} не подходит - она не компактная
(2) Общей теории пока нет (вернее есть только самое начало). Как получается е*-стабильность о-минимальных теорий - на память не помню, а бумаги, где это записано - дома. Когда посмотрю - тогда выложу. Хотя наверное проще ссылку на журнал дать: журнал "алгебра и логика",том 44, N5,2005 - статья Е.А. Палютина "стабильно определимые классы теорий"

(Ответить) (Уровень выше)


[info]primaler
2005-11-04 06:07 (ссылка)
http://www.livejournal.com/users/tiphareth_ljr/58547.html?thread=11955#t11955

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2005-11-04 09:58 (ссылка)
Спасибо огромное! Так бы и не обнаружил этого комментария,
конечно. LJ ужасен

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2005-11-06 18:14 (ссылка)
Миша, вы, разумеется, математически невшибенны, но позвольте поинтересоваться на кого эта статья рассчитана? Что-то я подозреваю, что любой нормальный человек, умеющий читать (такие статьи) и так бы наткнулся на нее а Архиве (я-то сам конечно не умею, но все равно наткнулся:)). А всем остальным ее содержание мягко говоря не вполне доступно. То есть я это к тому, что такая цель как "неожиданное формирование интереса к алгебраической геометрии" вряд ли может быть достигнута. Вот вы бы лучше почаще писали "для широкого круга читателей" - вроде того, что периодически бывало у вас в ЖЖ. Я это просто к тому, что, как всем помнится, вы подвергли мат. образование в России "суровой и справедливой критике" - так может если насс поучить, то кердык настанет несколько позже прогнозируемого?

Квакер (lj kaustikos)

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]dobromysl.livejournal.com
2005-11-08 20:52 (ссылка)
Кое-кому это всё-таки интересено. Например, мне, хотя я и занимаюсь конечными группами. Не все слова всегда понятны, но в целом контекст ясен. Интересно ведь знать чем занимаются другие математики.

Критика мат. образования в России -- это, конечно... Весьма напоминает знаменитую фотку Новодворской с плакатом ("вы все дураки и не лечитесь, одна я стою в белом...").

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaustikos.livejournal.com
2005-11-11 14:04 (ссылка)
Хм. интересное мнение, только вот понятие "общего контекста" довольно расплывчато.. И еще все же для общего контекста геометрии лучше, наверное, читать учебник геометрии (ну т.е. - для меня лучше):) А еще как я уже упомянул, интересующиеся творчеством в общематематическом масштабе фтыкают в АрХив. У всех свои пути познания, однако ж.

вы все дураки и не лечитесь, одна я стою в белом...

Ну вот, кстати, что-то в этом есть, между прочим. Самые дурные дураки как раз-таки не лечатся. Но все же если больше некому, то пусть лечение хотяб больные пропагандируют.:) А то мертвым уже поздно...

(Ответить) (Уровень выше)