Мы должны спасти королевство любой ценой.

А что может быть особенно сложного в теории расширения полей (если не вдаваться в какие-нибудь специальные несепарабельные случаи)?

Да ничего, конечно. Но можно гораздо проще,
в этом штука.

Такие дела
Миша

Куда уж проще, чем у Ван дер Вардена.

Вот тут
http://ium.mccme.ru/postscript/f04/e_algebra11.ps.gz

Проще, по моим оценкам, вчетверо примерно
(особенно если учесть весь мелкий шрифт, который
уходит на обсуждение сепарабельности расширений)

Такие дела
Миша

идея чудесная, наверное.

http://north.ecc.edu/alsani/ct01(1-4)/msg00059.html
http://uk.cambridge.org/catalogue/catalogue.asp?isbn=0521803098

но я бы на этом сломался.

Задача 8.1 Появляется термин автоморфизм. Вроде раньше были только эндоморфизмы (разбавленные операторами :-)

Задача 8.2. Первое предложение лишнее.

Указание к задаче 8.6. Наверное, не матрица, а оператор?

Задача 8.8. Надо потребовать, чтобы поле было алгебраически замкнутым, иначе не получится.

Задача 8.9. Для естественной топологии нужна конечномерность.
Оба утверждения задачи неверны.
Контрпример для плотности: в окрестности поворота R^2 на \pi/2 нет диагонализуемых.
Контрпример для открытости: в любой окрестности нулевого оператора есть недиагонализуемые.

Задача 8.13. Id, наверное, лучше назвать тензором, а не вектором. Что значит "соответствующий оператору" -- непонятно. Дальше в задаче 8.23 говорится про этот естественный изоморфизм. Надо, наверное, перед задачей 8.13 потребовать что-то вроде "определите естественный естественный изоморфизм между End V и VxV*", где x -- тензорное произведение.

Задача 8.14. "квадрат kxk" надо заменить на "прямоугольник (n-k)xk" :-)

Задача 8.16. Перед "флаг" вставить "некоторый".

Задача 8.17. Практически совпадает с задачей 8.8. Или это так и задумано?

Задача 8.21. Вроде ортонормированный базис определяется только для положительно определенной формы? Здесь (с невырожденной формой) непонятно, что пож этим термином имеется в виду.

Задача 8.25. Наверное надо попросить их вначале понять, что такое операторы Re и Im, а потом давать эту задачу.

пошел учить мат.часть. Вы(ты)-замечательная.

В задаче 8.9 наверное, имелось в виду "над C", а не над "R". Тогда диагонализуемые и впрямь всюду плотны (это удобный факт), но вот открыты они вряд ли: если хотя бы два собственных значения совпадают, то, пожалуй, в любой окрестности найдётся недиагонализуемый?

Да, конечно, найдется в любой окрестности.

Ага. Надо сказать "недиагонализуемые нигде не плотны",
так будет правильно.

Такие дела
Миша

Привет!
Спасибо за исправления, я все добавил.

> Задача 8.1 Появляется термин
> автоморфизм. Вроде раньше были только
> эндоморфизмы (разбавленные операторами

Нет, в 1-м листке и 3-м были автоморфизмы.

> Задача 8.9. Для естественной топологии
> нужна конечномерность. Оба утверждения
> задачи неверны. Контрпример для
> плотности: в окрестности поворота R^2 на
> \pi/2 нет диагонализуемых. Контрпример
> для открытости: в любой окрестности
> нулевого оператора есть
> недиагонализуемые.

Я хотел спросить про
полупростые операторы. Правильно так

"Пусть $V$ -- конечномерное векторное пространство над $\C$.
Рассмотрим множество всех линейных операторов над $V$ как
векторное пространство с естественной топологией
на нем. Докажите, что диагонализуемые операторы
плотны в $\End V$. Докажите, что недиагонализуемые
операторы нигде не плотны. "

> Надо,
> наверное, перед задачей 8.13 потребовать
> что-то вроде "определите естественный
> естественный изоморфизм между End V и VxV*",
> где x -- тензорное произведение.

Да! Спасибо. Я был уверен, что оно уже было.
В любом случае, в алгебру-5 надо тоже добавить.

> Задача 8.17. Практически совпадает с
> задачей 8.8. Или это так и задумано?

Нет! Спасибо.

> Задача 8.21. Вроде ортонормированный
> базис определяется только для
> положительно определенной формы? Здесь
> (с невырожденной формой) непонятно, что
> пож этим термином имеется в виду.

Она будет а постериори положительно определенная
(если над \R). Я добавил это определение еще раз,
да.

Такие дела
Миша

> В любом случае, в алгебру-5 надо тоже добавить.

Только перед этим надо не забыть вставить определение естественности, а то сейчас оно только в одной из последних геометрий появляется.

> Она будет а постериори положительно определенная
> (если над \R).

??? Как это? Например, x_{1}y_{1}-x_{2}y_{2} -- билинейная симметрическая невырожденная (как в задаче), но не положительно определенная.

>Как это? Например, x_{1}y_{1}-x_{2}y_{2} --
>билинейная симметрическая невырожденная (как в
>задаче), но не положительно определенная.

Там же задано, что существует ортонормальный базис

Такие дела
Миша

:-)))
Я же как раз и говорила, что при чтении возникает вопрос: "что такое ортонормированный базис для _произвольной_ невырожденной формы". То есть надо не определение ортонормированного базиса напоминать, а в описании формы слово "невырожденная" заменить на "положительно определенная".

Положительно определенная бывает только над \R.
Глупо говорить о положительно определенных формах над F_p
например

Такие дела
Миша

А, так там над произвольным полем... Я об этом как-то не подумала. Тогда вопрос снимается.

Все-таки, мне кажется, лучше написать как-то так: "Дана ... форма g такая, что существует ортонормированный базис..."

HMУ - Heavy Metall University!

Миша, у тебя в "Алгебре 2" в первом определении упоминается "областность целостности"

а в задаче 2.14 -- ссылка битая.

Спасибо!
Я все поправил

Такие дела
Миша