Настроение:	tired
Музыка:	Coil - 4-Indolol, 3- [2- (Dimethylamino) Ethyl]' Phosphate Ester: (psilocybin)

кольцо целых функций - ZFC - теория Галуа
Удивительные вещи узнал я сегодня.
Как известно, проективная размерность модуля -
длина его самой короткой проективной резольвенты,
а глобальная размерность кольца - это
супремум проективных размерностей по всем
конечно порожденным модулям.

Пусть R кольцо целых функций (то есть комплексно
аналитических на всем \C). Легко видеть,
что R не нетерово, но каждый конечно порожденный
идеал в R главный (Веддерберн, 1915)

Оказывается, что глобальную размерность
R нельзя узнать: для любого $3\leq n\leq \infty$,
утверждение gl.dim(R)=n консистентно
с ZFC (системой аксиом Цермело-Френкеля+аксиома
выбора). Более того, оно же консистентно с ZFC+MA
(MA это аксиома Мартина, слабая форма
континуум-гипотезы).

Источник: Jensen, Christian U.
La dimension globale de l'anneau des fonctions entieres.
C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 294 (1982), no. 12, 385--386.

Все это чрезвычайно забавно, ибо
математическое сообщество в целом уже лет 40 считает,
что теория множеств нигде в математике проявляться
не может и не должна, а если проявляется, то к этому
есть специальные (и весьма экзотические) причины.

И это правда, конечно (есть изолированные и давно не
развивающиеся разделы математики, которые с теорией
множеств тесно связаны, но к ним остальные специалисты
относятся весьма кисло, и не без взаимности; и есть
логика, давно уже отделившаяся в отдельную науку).


Между тем, выложен листок по теории Галуа
http://ium.mccme.ru/postscript/f04/e_algebra11.ps.gz
(к этому полезно прочесть два предварительных листка: [ 9 | 10 ])

Теория Галуа излагается исключительно в терминах
артиновых коммутативных алгебр, так примерно -
расширение Галуа [K:k] это такая алгебра над k,
которая, будучи умножена на себя, дает несколько
копий себя же. Автоморфизмы расширения действуют на
компонентах этой прямой суммы перестановками.
Промежуточные расширения соответствуют К-подалгебрам
в K\otimes_k K, а поскольку
K\otimes_k K \cong K+K+K+K ...
то промежуточные расширения легко описываются
в терминах группы, переставляющей компоненты.
Из этого сразу получается основная теорема
теории Галуа, теорема Абеля и много всякого.

Этот подход, как легко догадаться, позаимствован
непосредственно из SGA 4 1/2, и адаптирован
для старшеклассников; в результате получилось
вчетверо-впятеро проще, чем обыкновенно
делается. Дополнительный плюс - что
после этого ничего не меняя можно
рассказывать теорию накрытий в топологии
(это у нас делается) и науку об этальной
фундаментальной группе.

Я по дороге придумал чисто категорную
формулировку теории Галуа, абсолютно тривиальную
причем - все факты, которые верны в категории
расширений полей или в категории накрытий
(основная теорема теории Галуа и все прочее),
будут верны в категории C, обладающей следующими
свойствами.

1. В C существуют копроизведения (несвязные
суммы) и конечные расслоенные произведения.

2. Назовем объект C связным,
если он не разлагается в несвязную сумму.
Любой мономорфизм из какого-то объекта C
в связный - изоморфизм.

3. Задан функтор \Psi из C в множества,
инъективный на морфизмах, и сохраняющий
несвязные суммы и расслоенные произведения
(называется "функтор слоя").

4. Если функтор слоя от объекта
дает множество мощности A, то определено
произведение A копий объекта с собой.

И все. Морфизмом Галуа в такой ситуации будет
стрелка X\arrow Y, такая, что X\times_Y X
это несвязная сумма несколько копий
X. Если взять произведение объекта X\arrow Y на себя
над Y \Psi(X) раз, то там будет компонента, морфизм
которой в Y это морфизм Галуа. Основная теорема
теории Галуа доказывается дословно так же,
как аналогичное утверждение для накрытий.

Разумеется, функтором слоя для накрытий
будет прообраз какой-то (любой) точки,
функтором слоя в теории Галуа - множество
вложений из поля [K:k] в алгебраическое
замыкание k; а фундаментальная группа
(абсолютная группа Галуа для полей)
будет группой автоморфизмов
функтора слоя.

Привет