Настроение:	tired
Музыка:	:Zoviet*France: - Gesture Signal Threat

Kaehler identities for G_2-manifolds
Гениальный математик Шень-Шень Черн (Чжень)
умер, в возрасте 93 лет, в начале декабря 2004 года.
Оказывается, перед смертью он опубликовал препринт!
С доказательством чрезвычайно важной теоремы о
несуществовании комплексных структур на 6-мерной сфере.
Вот подробности.

Теперь это дело называется "последняя теорема Черна".
Напоминает "последнюю теорему Ферма", о да.

Почти комплексная структура на 6-мерной сфере строится,
кстати, совершенно очевидным образом. А именно, 6-мерная
сфера отождествляется с множеством всех тотально мнимых
октав, которые дают в квадрате -1. На пространстве,
ортогональном такой октаве, эта октава действует
как комплексная структура. Касательное пространство
к шестимерной сфере отождествляется с этим самым
ортогональным дополнением - вуаля. На
сферах любой размерности, кроме 2 и 6,
почти комплексной структуры не бывает,
по топологическим причинам.

Тем временем, я дописал и выложил наконец статью
про рациональные гомотопии на G_2-многообразиях
http://arxiv.org/abs/math.DG/0502540

"Manifolds with parallel differential forms and
Kaehler identities for G_2-manifolds"

Как известно, GL(R,7) (49-мерная) действует на
пространстве 3-форм (35-мерном) с двумя открытыми орбитами.
Стабилизатор общей 3-формы - группа размерности 49-35=14,
и она называется G_2. Это группа автоморфизмов
октавной алгебры. Поскольку таких орбит две, то и
стабилизаторов имеется два - один отвечает
компактной вещественной форме G_2, другой
некомпактной. Науку интересуют преимущественно
компактная форма G_2; 3-формы, у которых такой
стабилизатор, называются положительными.
Если на многообразии задана такая 3-форма,
касательное расслоение редуцируется к
G_2, а поскольку G_2 компактна, то на
многообразии получается риманова структура.
Такое многообразие называется G_2-многообразием.
Условие интегрируемости в такой ситуации - то,
что 3-форма параллельна относительно связности
Леви-Чивита. Когда говорят про G_2-многообразия,
имеют в виду в основном эти. Они чрезвычайно
важны в физике - начиная от 1997-98 года,
основная надежда на объединение гравитации
и остальных трех фундаментальных сил лежит
в M-теории, которая компактифицирует 11-мерное
физическое пространство в 7-мерное G_2-многообразие.
При этом обычные струнные теории получаются
как аппроксимации M-теории при разных предельных
значениях параметров.

Разные свойства G_2-многообразий обобщают
аналогичные свойства трехмерных Калаби-Яу.
Если взять трехмерное Калаби-Яу и умножить
на окружность, получится G_2-многообразие,
а интересные структуры, заданные на Калаби-Яу
(например, рациональные кривые или специальные
лагранжевы циклы) становятся интересными
структурами на G_2-многообразии. Что самое
забавное - и рациональные кривые и специальные
лагранжевы циклы превращаются в один
и тот же класс циклов на G_2-многообразии
(ассоциативные циклы).

В общем, на G_2-многообразии должна быть построена
алгебраическая геометрия, по образцу знакомой нам.
Этим я давно уже занимаюсь, с переменным успехом.
Одно из направлений - попытаться обнаружить на
G_2 структуры, известные нам из работ Сулливана
(также Делиня-Гриффитса-Моргана-Сулливана),
и приводящие к формальности кэлеровых
многообразий. Это и было сделано. Формальности
G_2-многообразий я не обрел, но получил
чрезвычайно красивую ДГ-алгебру, эквивалентную
де рамовской, все дифференциалы в которой
зануляются, кроме одного; и массу других
поучительных результатов.

С очень подробной библиографией
(пришлось прочесть страниц наверное 800).
Сущность M-теории очень внятно излагается здесь
http://arxiv.org/abs/hep-th/0409191
и здесь
http://arxiv.org/abs/hep-th/0411073
математический смысл G_2-геометрии - здесь
http://arxiv.org/abs/math.DG/0010054

Писал ее полгода почти, с перерывом на
листочки. Ужас, да.

Привет