Настроение:	tired
Музыка:	League Of Gentlemen - Thrang Thrang Gozinbulx

мера Хаара

Офигительно полезный ресурс!
http://uncyclopedia.org/

Вот например биография Джорджа Буша
Заинтересует конспирологов.

Тем временем, я закончил писать листочки по теории
меры. Добавлено 4 штуки (с 4 по 7-ой).
Заканчивается наука на мере Хаара, существовании
ее и единственности.

Вот что это такое вкратце (лекция)

Все подробности, определения и наброски доказательств
есть в листочках:

[ 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 ]

Пусть задана хаусдорфова, локально компактная
топологическая группа. Алгебра борелевских множеств
на топологическом пространстве это сигма-алгебра,
порожденная компактными подмножествами. (Левая) мера Хаара
есть ненулевая, локально конечная мера на алгебре борелевских
множеств, левоинвариантная относительно действия группы
(то есть группа, действуя на себе слева, индуцирует
изоморфизм пространств с мерой).

Мера Хаара существует и (в разумной ситуации) единственна.

Единственность ее вытекает из теоремы Радона-Никодима.
На мерах задан частичный порядок: говорится,
что мера nu абсолютно непрерывна относительно
mu, если каждое множество меры нуль отн. mu
имеет меру нуль относительно nu. Если mu и
nu конечные меры, причем nu абс. непр. отн.
mu, то $\nu = f\mu$ для интегрируемой измеримой
функции f. С другой стороны, nu всегда относительно
непрерывна по отношению к nu+mu. Если на группе
заданы две конечные меры Хаара nu, mu, то
(по теореме Радона-Никодима) $\nu = f(\nu+\mu)$.
Поскольку nu, mu левоинвариантны, $f$ инвариантна
с точностью до $\nu+\mu$-пренебрежимой функции.
Из этого следует, что nu пропорциональна nu+mu.

Применяя этот аргумент к открытым подмножествам, на
которых nu и mu конечны (таковые существуют в силу
локальной компактности) мы получим, что
nu пропорциональна nu+mu на любом компактном
множестве, полученном как пересечение счетного
числа открытых.

Сигма-алгебра, порожденная таковыми множествами,
называется алгеброй бэровских множеств.
Из вышеуказанного аргумента вытекает, что
мера Хаара единственна на алгебре бэровских
множеств. Если у G есть счетная база,
бэровские и борелевские множества
совпадают, и мера Хаара единственна.

Если ж у G нет счетной базы, лекго привести
контрпример к единственности. А именно,
возьмем "длинную прямую", то есть произведение
$[0, \infty[$ с первым несчетным
(или любым терминальным несчетным) ординалом,
с естественной топологией связного многообразия.
Длинная прямая есть полугруппа, и порожденная
ею группа Ли это просто объединение двух
копий длинной прямой, соединенных в нуле.

На длинной прямой есть две меры Хаара:
одна стандартная (Лебега), другая кладет
каждому подмножеству, содержащемуся
в замкнутом отрезке, ноль, а не
содержащемуся в замкнутом отрезке - 1.
Эти меры очевидно непропорциональны.

Мера Хаара строится, исходя из общей
теории борелевских мер. Пусть на множестве
компактных подмножеств топологического
пространства задана аддитивная, монотонная,
полуаддитивная неотрицательная функция. Такая
функция называется объем. Если на многообразии
задан объем, можно определить "внутренний объем"
открытого множества как супремум объемов
всех содержащихся в нем компактных множеств,
и "внешний объем" множества как инфимум
внутренних объемов всех окрестностей.

Это будет мера, причем
любая бэровская мера (мера на сигма-алгебре
бэровских подмножеств) получается таким образом.
В разумной ситуации, бэровские и борелевские
множества совпадают, и тогда объемы
эквивалентны мерам.

В любом случае, чтобы построить меру Хаара,
достаточно построить левоинвариантный объем,
а делается это таким образом.

Пусть задано открытое подмножество U\subset G
и компактное C\subset G. Определим частное
C:U как число элементов в минимальном наборе
\{x_i\} таких, что $\bigcup_i Ux_i$ покрывает
C. Зафиксируем компактное A с непустой внутренностью $A_0$,
и пусть $\lambda_U$ функция на множестве компактных подмножеств
G, ставящая в соответствие $C\subset G$
частное $\frac{C:U}{A:U}$.

Эта функция левоинвариантна,
полуаддитивна, равна единице
на A, монотонна, и аддитивна в некотором
(весьма слабом) смысле: если два компактных
множества E и F таковы, что $U$-окрестности
$EU^{-1}$ и $FU^{-1}$ не пересекаются, то
$\lambda_U(E+F) = \lambda_U(E) + \lambda_U(F)$.

Мера Хаара получается "пределом" $\lambda_U$
по последовательности окрестностей единицы
$U$, стремящейся к нулю. Делается это
с помощью теоремы Тихонова о компактности.

Рассмотрим тихоновское произведение $K$
отрезков $[0, C:A_0]$ по всем компактным
подмножествам $G$. Оно компактно.
$\lambda_U$ может быть
рассмотрена как функция из множества всех
компактов в числа, то есть как точка этого
пространства. Пусть $U\subset A_0$ это окрестность
единицы в $G$, а $\Delta_U^0$ - множество
всех точек $\lambda_V\in K$ таких, что
$V\subset U$ есть окрестность единицы.
Обозначим за $\Delta_U$ его замыкание.
$\Delta_U$ компактно, а пересечение
всех $\Delta_U$ непусто, по теореме
Кантора, ибо непусты их конечные
пересечения.

Точка пересечения всех $\Delta_U$ есть
левоинвариантный объем, а определенная
им мера есть мера Хаара.

Очень простое доказательство
теоремы Тихонова (использующее лемму Цорна) есть здесь вот.

Теорема Тихонова равносильна аксиоме выбора
(Кэли доказал). Интересно, насколько существование меры Хаара
зависит от аксиомы выбора. Поскольку она практически
единственна, должна зависеть весьма мало.

Вот здесь вот интересно рассказывают, когда
и зачем Хаар придумал меру Хаара. Оказывается,
он хотел решить пятую проблему Гильберта
(доказать, что топологическая группа, которая
является многообразием, есть группа Ли).
И фон Нойман, много общаясь с Хааром, эту проблему
действительно решил.

Примерно так вот

Привет