Настроение:	tired
Музыка:	Alma Ferida - Hasta siempre Comandante
Entry tags:	math

Quaternionic Dolbeault complex and vanishing theorems
Дописал статью:

"Quaternionic Dolbeault complex and
vanishing theorems on hyperkahler manifolds"
http://arxiv.org/abs/math.AG/0604303

Оказывается, что гиперкэлерова версия теоремы Кодаиры
в определенном смысле гораздо сильнее, чем обычная.
То есть на гиперкэлеровом многообразии (M,I,J,K) есть гиперкэлерова
формула Кодаиры-Накано, которая выглядит довольно привычно:

\Delta - \Delta_J = [ \Theta, \Lambda ],

где \Delta - обычный \bar\partial-лапласиан,
вычисляющий голоморфные когомологии расслоения на (M,I),
\Delta_J - \partial-лапласиан, подкрученный на
оператор комплексной структуры J, а [ \Theta, \Lambda ] -
коммутатор спаривания с голоморфной симплектической
формой той части кривизны, которая имеет вес два
относительно действия SU(2). Из этого, естественно,
следует, что если [\Theta, \Lambda] положительный,
когомологии зануляются. Например, если кривизна равна
кэлеровой форме, то когомологии зануляются для
размерности больше половины, если минус кэлеровой
форме - то меньше половины.

Дальше начинаются чудеса. Дело в том, что
[\Theta, \Lambda] зависит от действия SU(2), то есть
от гиперкэлеровой структуры. И (в зависимости от выбора
этой структуры) может быть положительный и отрицательный.
Соответственно, мы получаем теоремы о занулении,
работающие в обе стороны: и для когомологий
меньше половины для когомологий больше половины.
В конце концов получается такая теорема.

ТЕОРЕМА. Пусть (M,I,J,K) гиперкэлерово многообразие,
комплексной размерности 2n, L нетривиальное голоморфное
линейное расслоение на (M,I), V - замыкание двойственного
кэлерова конуса. Tогда имеет место одно из трех.

1. c_1(L) лежит в V. Тогда H^i(M)=0 для i > n
2. c_1(L) лежит в -V. Тогда H^i(M)=0 для i < n
3. c_1(L) не лежит в V и в -V. Тогда H^i(M)=0 для i\neq n

Из этого следуют разные штуки в алгебраической
геометрии, хотя ничего абсолютно зверского мы пока
не обнаружили

Привет