Настроение:	sick
Музыка:	Паранойя и ангедония - ДА, СМЕРТЬ! СЛАВА РОССИИ!
Entry tags:	arxiv, math

Stable bundles on hypercomplex surfaces
Вот, кстати, статья!

http://arxiv.org/abs/math.DG/0611714

Stable bundles on hypercomplex surfaces
Authors: Ruxandra Moraru, Misha Verbitsky

Написана мною совместно с румынской девушкой
Руксандрой Морару (очень прекрасной).
"Гиперкомплексные поверхности" есть четырехмерные
вещественные многообразия, снабженные тремя
комплексными структурами I, J, K, которые удовлетворяют
кватернионным соотношениям IJ=-JI=K. Они гиперкэлеровы,
если к тому же есть метрика, которая кэлерова по отношению
к I, J, и K. Компактные гиперкомплексные многообразия
нетрудно классифицировать, это (с точностью до конечного
накрытия) K3, тор и поверхность Хопфа (фактор
\C^0\backslash 0 по действию Z, порожденному
растяжениями). К3 и тор гиперкэлеровы, а поверхность
Хопфа гомеоморфна S^1 \times S^3 и не допускает
кэлеровой метрики вообще. Как устроены
стабильные расслоения на поверхности Хопфа
понятно не вполне (хотя физикам они весьма
часто нужны для струнной физики).

Стабильные голоморфные расслоения можно отождествить
с инстантонами, по теореме Дональдсона-Уленбек-Яу
(доказанной для некэлеровых многообразий Яу и Ли).
Из этого ясно, что на модулях стабильных расслоений
(они же инстантоны) над гиперкомплексным многообразием
есть три комплексные структуры I, J, и K. Мы доказываем,
что они удовлетворяют кватернионным соотношениям,
таким образом пространство модулей оказывается
гиперкомплексным. Также мы строим на этом
пространстве модулей "обобщенную гиперкэлерову
структуру" по образцу Хитчина-Гуалтиери.
Обобщенная гиперкэлерова структура это пара
гиперкомплексных структур, совместимых с одной
и той же метрикой, которая удовлетворяет
уравнениям HKT (hyperkaehler with torsion).
При этом кручение этой метрики в первой
гиперкомплексной структуре должно быть
равно минус кручению во второй.

Эту штуку придумали физики Hull, Gates
и Rocek в 1984 году и назвали ее 4,4-структура,
одновременно с (4,2) ("биэрмитовыми", на языке
Хитчина - "обобщенно кэлеровыми") многообразиями.
Примеров (4,4)-многообразий тогда не было, хотя
в конце 1980-х физики построили подобные структуры
на следующих компактных группах Ли (а Джойс в 1993 г. это
дело независимо построил и все доказал)

T^4, SU(2l+1), T^1 \times SU(2l), T^l \times SO(2l+1),
T^{2l}\times SO(4l), T^l \times Sp(l), T^2 \times E_6,
T^7\times E^7, T^8\times E^8, T^4\times F_4, T^2\times G_2

здесь T^l - l-мерный тор. Хочу отметить, что все компактные
группы Ли в этом списке появляются, некоторые после
умножения на тор.

Среди прочего, в этом списке есть T^1 \times SU(2), то
есть поверхность Хопфа. Наш аргумент доказывает,
что модули инстантонов на поверхности Хопфа являются
гиперкомплексными, и он же доказывает, что модули
инстантонов на T^1 \times SU(2) - это (4,4)-многообразие,
с (4,4)-структурой, индуцированной с T^1 \times SU(2).
Это первый, видимо, пример (4,4)-многообразия, которые
не однородны а приори (хотя возможно таки и
модули инстантонов однородные, трудно сказать).

Привет