Настроение:	tired
Музыка:	Terra Incognita - AvtoGudroNator
Entry tags:	lck, math

не могут допускать никакой кэлеровой метрики
LCK-многообразия (они же локально конформно кэлеровы)
суть комплексные, эрмитовы многообразия, с метрикой,
которая локально конформно эквивалентна кэлеровой.
Иначе говоря, такие многообразия имеют кэлерово
накрытие, при этом монодромия этого накрытия
действует голоморфными гомотетиями.

Типичный пример - многообразие Хопфа
(фактор \C^n без нуля по группе \Z, которая
на нем свободно и голоморфно действует
контракциями, например, линейными).

Можно считать, что многообразие наделено
линейным расслоением $(L, \nabla_L)$ с плоской
связностью, а кэлерова метрика принимает значение
в этом расслоении. Тривиализовав это расслоение,
мы получим эрмитову метрику $\omega$ на многообразии.
При этом связность примет вид
\[ \nabla_L = \nabla_0 +\theta, \]
где $\theta$ - замкнутая 1-форма (замкнутость ясна из
$\nabla_L^2=0$). А LCK-метрика $\omega$ в
этом случае удовлетворяет уравнению
$d\omega=\theta\wedge\omega$. 1-форма
$\theta$ называется формой Ли (Lee form).

Легко видеть, что если локальная система
$(L, \nabla_L)$ тривиальна
(а $\theta$ точна), то многообразие
глобально конформно эквивалентно кэлеровому.
Поэтому имеет смысл в дополнение
потребовать, что $\theta$ не точна.

Это определение выглядит
как некое ослабление кэлеровости.
Но оказывается, что класс компактных
LCK-многообразий (с неточной формой Ли)
довольно узок; например, они не могут
допускать никакой кэлеровой метрики.

Простое доказательство этого факта я обрел
на днях буквально, и запишу, чтобы не потерялось.

Пусть $M$ компактное LCK-многообразие, комплексной
размерности $n>1$, a $\theta$ - его форма Ли.
Замена метрики на конформно эквивалентную
соответствует замене $\theta$ на когомологически
эквивалентное. Поэтому можно найти в том же
конформном классе метрику, где $\theta$
гармоническое (для любой заданной римановой
метрики).

Теперь, если LCK-многообразие
допускает кэлерову метрику, гармонические
формы суть голоморфные плюс антиголоморфные.
В частности, мы имеем $d^c\theta =0$, где
$d^c=IdI$. Из этого следует, что
\[
d d^c \omega^{n-1} = {n-1}^2\theta \wedge I(\theta)\wedge \omega^{n-1}
\]
Но форма $\theta \wedge I(\theta)\wedge \omega^{n-1}$
положительна, и строго положительна, если $\theta$ не
равна нулю тождественно. С другой стороны, по формуле
Стокса имеем
\[
0 = \int_M d d^c \omega^{n-1} =
\int_M {n-1}^2\theta_1 \wedge I(\theta_1)\wedge \omega^{n-1},
\]
из чего и следует, что $\theta$ равна тождественно нулю.

Привет