Настроение:	tired
Музыка:	Dr. Bajan - FANTASMAGORIA
Entry tags:	math

HKT нильмногообразия все абелевы
Придумали вместе с аргентинскими коллегами следующую феноменальную
теорему. Пусть $М$ компактное, гиперкомплексное нильмногообразие,
которое допускает HKT-структуру. Тогда гиперкомплексная
структура абелева. Что абелевы все HKT, это хорошо известно
(трудами аргентинских коллег), но обратное есть дико сильный
результат.

Вкратце: нильмногообразие есть фактор нильпотентной
группы Ли по дискретной решетке. Если на группе Ли
есть к тому же левоинвариантная комплексная структура,
фактор называется комплексное нильмногообразие (если
гиперкомплексная, то гиперкомплексное). Типичный
пример - трехмерная группа Гейзенберга, факторизованная
по целочисленному Гейзенбергу и умноженная на S^1
(это поверхность Кодаиры, излюбленная в алгебраической
геометрии).

Левоинвариантная почти комплексная структура есть
то же самое, что оператор на алгебре Ли с квадратом -1.
Интегрируемость такой почти комплексной структуры значит,
что собственные пространства в комплексификации алгебры
Ли являются подалгебрами ее. Самый простой случай - когда
эти собственные пространства абелевы. В этом случа
комплексная структура называется абелева. Она всегда
разрешима в два шага (самое большое), но глубина
нильпотентности бывает всякая.

Конечно, абелевых комплексных структур - весьма мало,
большинство неабелевы.

HKT-метрики суть специальные метрики на гиперкомплексных
многообразиях, имеющие потенциал. Локально они существуют
в таком же количестве, как и функции, поэтому долгое время
считалось, что и глобально существуют тоже. Потом Гео Гранчаров
и Анна Фино нашли контрпример (8-мерное нильмногообразие).
Но все еще казалось, что таких контрпримеров весьма мало.

Теперь мы доказали, что HKT нильмногообразия все абелевы.
То есть типичное гиперкомплексное нильмногообразие никакой
HKT-метрики не допускает.

Также доказали, что группа голономий гиперкомплексного
нильмногообразия лежит в SL(n,H) (а не в GL(n,H), как
у большинства гиперкомплексных многообразий).

Хорошо съездил. Завтра в Канаду.

Если успею, выложу фотографии.

Привет