В геометрических курсах теорема Римана об униформизации обычно используется как чёрный ящик, и на самом деле как правило в такой формулировке:

Универсальное накрытие компактной комплексной кривой рода больше 1 биголоморфно диску.

(В такой формулировке в 19 веке она существовала под именем гипотезы Клейна-Пуанкаре, пока не была доказана Кёбе).

Какие человечеству известны подходы к доказательству этого утверждения?

1) Основанный на методе Перрона. Точнее, на том факте, что если на односвязной римановой поверхности имеется функция Грина (гармоническая функция с полюсом в одной точке, ведущая себя в окрестности этой точки как -ln|z|), из неё можно сконструировать аналитическое инъективное отображение в \CP^1. Дальше применить теорему Римана об отображении и тот факт, что на целой кривой функций Грина не бывает.
Но как построить функцию Грина?
Обычно это делают при помощи следующего трюка: рассмотрим все субгармонические функции с компактным носителем и полюсом нужного порядка в отмеченной точке. Возьмём поточечный супремум такого множества (оно называется семейством Перрона). Либо нам не повезло и мы получили в каждой точке +\infty, либо повезло и тогда то, что мы получили, будет функцией Грина. A posteriori первый случай относится к случаю рода не больше 1, а второй к гиперболическому случаю. Точнее, не очень трудно доказать, что если на поверхности существует функция Грина, то и на ее универсальном накрытии существует. Но почему на кривой рода больше 1 существует функция Грина — я не знаю. Наверное это где-то написано.
Это все, как я уже говорил, придумал Кёбе в 907 году.

2) Идея в том, чтобы заниматься не комплексной геометрией а римановой. Если доказать что всякая риманова поверхность допускает метрику постоянной отрицательной кривизны, отсюда будет мгновенно следовать что ее универсальное накрытие изометрический плоскости Лобачевского, а потому конформно эквивалентно диску. Преимущество этого подхода в том, что он не использует теорему Римана об отображении, тем самым уменьшая количество аналитических чёрных ящиков.
Метрику постоянной отрицательной кривизны на поверхности можно построить, запустив поток Риччи. Это в общих чертах придумал Гамильтон в конце 80-ых, но довели до ума только Чен, Лу и Тиан в 2006 (изначальный аргумент Гамильтона неявно использовал униформизацию и был круговым).

3) Третий подход придумал Хитчин в своей великой статье 87 года про автодуальность на на римановых поверхностях. Подход основан на соответствии Хитчина -Симпсона. А именно, пусть C — гладкая компактная комплексная кривая рода больше 1. Выберем на C корень из канонического расслоения (обозначим его за L). Наш главный герой это векторное расслоение E:= L \oplus L ^{-1}. Поле Хиггса

θ : L \oplus L^{-1} \to (L \oplus L^{-1})\o K_C = K^{3/2} \oplus K^{1/2}

имеет 4 компоненты (две из них — голоморфные дифференциалы, одна — квадратичный дифференциал и одна скалярная). Положим все кроме скалярной равной нулю, а скалярную равной единице. Мы построили на кривой каноническое стабильное \SL_2- (на самом деле легко увидеть, что \SL_2(\R)-) поле Хиггса. N.B.: само векторное расслоение Е не стабильно, но с таким полем Хиггса оно стабильно как расслоение Хиггса.

Дальше есть два пути:
3а) Если векторное расслоение допускает структуру полустабильного расслоения Хиггса, оно допускает гармоническую метрику. В нашем случае гармоническая метрика на Е индуцирует метрику на ТС. Про саму метрику мы конечно ничего не знаем, но можем вычислить ее кривизну из уравнения автодуальности. Хитчин считает ее кривизну и довольно быстро получает что она постоянна и отрицательна, тем самым приходя к результату пункта 2) в обход потоков Риччи.

3б) Вообще с этой конструкцией можно сделать ещё вот что: подрасслоение L задаёт сечение в проективизации P(E). Поднимем все это дело на универсальное накрытие кривой и тривиализуем поднятие P(E) при помощи плоской связности, соответствующей нашему расслоению Хиггса. Тогда упомянутое сечение можно рассматривать как график голоморфность отображения из универсального накрытия в \CP^1. Поскольку поле Хиггса не сохраняет L, это сечение трансверсально плоской связности и отображение локально инъективно. Так что мы вложили универсальное накрытие в \CP^1 и можем, как и в пункте 1), применить теорему Римана об отображении.

Характерно, что каждый из перечисленных подходов опирается на какое-то глубокое утверждение геометрического анализа (решение задачи Дирихле, сходимость потока Риччи или теорему Дональдсона-Уленбек-Яу в форме Хитчина о существовании гармонических метрик на стабильных расслоениях Хиггса)

Однако подход 3б) наводит нас на мысли о гипотетическом существовании 4 подхода.


4?) По сути дела в подходе 3б) мы построили голоморфную проективную структуру на нашей кривой и при помощи отображения развёртки вложили ее универсальное накрытие в \CP^1. Но сделали это окольным путём. А можно ли вывести теорему Римана об униформизации исключительно глядя на пространство проективных структур на сфере с g>1 ручками?

Более конкретно, можно ли построить динамическую систему на пространстве проективных структур на римановой поверхности, стягивающую все пространство на униформизацию поверхности? A priori (то есть не используя существование униформизации) с ходу не ясно, как это делать.

На самом деле мы знаем, что это пространство расслоено над пространством Тейхмюллера (всякая проективная структура является по тривиальным причинам комплексно-аналитической структурой) со слоями комплексными аффинными пространствами размерности 3g-3. На самом деле слой над точкой С\in \T_g является торсором над H^0(C, K^{\o 2}_C), так что любое сечение из пространства Тейхмюллера в пространство модулей проективных структур отождествляет последнее пространство с кокасательным расслоением к Тейхмюллеру. Униформизация задаёт очевидное сечение, но существует много других естественных сечений (например, по теореме Берса о двойной униформизации, можно зафиксировать какую-то кривую C_0 и рассмотреть сечение, отправляющее С в квазифуксово представление, соответствующее одновременной униформизации С и С_0).

Но если ограничиться сечением обычной униформизации, например, разность между голоморфной проективной структурой на данной кривой и ее униформизацией описывается квадратичным дифференциалом, называемым шварцианом проективной структуры. Можно ли восстановить норму шварциана, не зная униформизации, но зная комплексную структуру на кривой? Если это можно было бы сделать, это дало бы геометрическое (и вероятно более простое) доказательство теоремы Римана об отображении в данной частной ситуации.
Но даже как найти голоморфную проективную структуру — не вполне понятно.

Обо всем этом думал ещё Ганнинг в 60-ых, но я этот вопрос узнал от Клинглера.